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Zu Beginn der Lektion werden die Hausaufgaben besprochen und die in der letzten Lektion gelernten Lösungswege repetiert. Dann macht die Klasse einen Hefteintrag mit dem Titel "der ...    mehr

Zu Beginn der Lektion werden die Hausaufgaben besprochen und die in der letzten Lektion gelernten Lösungswege repetiert. Dann macht die Klasse einen Hefteintrag mit dem Titel "der Kathetensatz des Euklid". In einer Skizze wird der Satz dargestellt, darunter schreiben die Schülerinnen und Schüler, wie im vorausgehenden Unterrichtsgespräch herausgefunden: b2=cq. Schließlich wird der Kathetensatz in Worten formuliert und auch als Formel für die Kathete a aufgeschrieben. Dann überprüfen die Schülerinnen und Schüler zu zweit an den individuellen Skizzen die Aussage des Satzes. Nun stellt die Lehrperson den Satz des Pythagoras als Behauptung auf. Die Klasse überprüft auch diese Aussage an den individuellen Skizzen. Da dies - wie die Lehrperson sagt - aber noch nicht ausreicht, um seine Richtigkeit zu bestätigen, beweist sie die Aussage dadurch, indem sie veranschaulicht, dass die Kombination der beiden Kathetensätze den Satz des Pythagoras ergibt. Schließlich formuliert die Klasse den Satz des Pythagoras in Worten. (Projekt)     weniger

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Nach einigen organisatorischen Angaben zeigt die Lehrperson am Hellraumprojektor eine graphisch vereinfachte Darstellung von einem Ausschnitt eines Industriedaches. Eine Kopie dies...    mehr

Nach einigen organisatorischen Angaben zeigt die Lehrperson am Hellraumprojektor eine graphisch vereinfachte Darstellung von einem Ausschnitt eines Industriedaches. Eine Kopie dieser Darstellung teilt sie auch an die Schülerinnen und Schüler aus. Ihre Aufgabe ist es, zu zweit den Lösungsweg zur Berechnung der Länge der für die Herstellung eines solchen Daches benötigten Dachsparren zu finden, wenn das Dreieck, das die beiden Dachschrägen und die Parallele zum Boden bilden, im Giebel rechtwinklig ist. Auch die Länge eines solchen Teildaches und der Punkt, wo dieses von der Höhe durch den Giebel geteilt wird, sind den Schülerinnen und Schülern bekannt. Nach etwa zehn Minuten wird im Plenum besprochen, auf was für Lösungsansätze die Schülerinnen und Schüler gekommen sind. Eine Schülerin schlägt vor, das Dreieck zu konstruieren und die Länge der Dachsparren durch Messen zu bestimmen. Auch fällt das Stichwort "Strahlensätze", woran die Lehrperson das weiterführende Lehr-Lerngespräch anknüpft. An der Wandtafel hängt die Lehrperson ein rechtwinkliges Dreieck aus braunem Papier auf und lässt einen Schüler die zwei Teildreiecke aus blauem Papier, die durch das Einzeichnen der Höhe entstünden, exakt darüber hängen. Dieser Schüler ist es auch, der behauptet, alle diese Papierdreiecke seien zueinander ähnlich. Dies wird durch die Lehrperson bestätigt und für die anderen Schülerinnen und Schüler durchsichtig gemacht. Nun hängt die Lehrperson ein weiteres zum braunen Dreieck identisches Papierdreieck an die Wandtafel. Ein Schüler hängt eines der blauen Dreiecke so auf das zweite braune, dass die Klasse sieht, wie der zweite Strahlensatz auf diese beiden Dreiecke angewendet werden kann. Die Lehrperson schreibt alle bekannten Grössen aus der Dachsparrenaufgabe in Zahlen, die unbekannten in Buchstaben auf die beiden Dreiecke. Mit diesen Angaben stellt die Klasse die Verhältnisgleichung auf und rechnet so die eine Kathete des braunen Dreiecks aus. Anschließend schreiben, zeichnen und kleben die Schülerinnen und Schüler den ganzen Lösungsweg von der Wandtafel ab. Dabei überlegen sie sich bereits den Lösungsweg zur Berechnung des anderen Dachsparrens. (Projekt)    weniger

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Nach der Pause zeigt ein Schüler, wie die Dreiecke gelegt werden müssen, dass der Strahlensatz zur Berechnung der anderen Kathete formuliert werden kann. Wieder wird an der Wandtaf...    mehr

Nach der Pause zeigt ein Schüler, wie die Dreiecke gelegt werden müssen, dass der Strahlensatz zur Berechnung der anderen Kathete formuliert werden kann. Wieder wird an der Wandtafel die Verhältnisgleichung mit Zahlen und Buchstaben aufgestellt und so die Kathete berechnet. Nun zeichnet die Lehrperson an der Wandtafel ein neues rechtwinkliges Dreieck, deren korrekte Bezeichnung von der Klasse genannt wird. Mit Hilfe der Lehrperson werden nun die beiden Aufgaben mit den Dachsparren auf das neue Dreieck angewendet und so allgemein formuliert. So erhalten die Schülerinnen und Schüler die Formeln der beiden Kathetensätze. Mit dieser neu erworbenen Formel berechnet die Klasse mit Hilfe der Lehrperson die Hypotenuse eines Dreiecks, von dem eine Kathete und der dazugehörende Hypotenusenabschnitt bekannt sind. Anschließend berechnen die Schülerinnen und Schüler selbständig weitere Übungsaufgaben mit dem Kathetensatz. Nachdem diese Übungsaufgaben besprochen wurden, skizzieren eine Schülerin und ein Schüler zu dem allgemeinen rechtwinkligen Dreieck die graphische Darstellung der beiden Kathetensätze. Als Hausaufgabe soll diese Skizze sauber ins Theorieheft konstruiert werden. Mit dieser Aufgabe können die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der Lektion schon beginnen. (Projekt)     weniger

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Nach einigen organisatorischen Informationen erzählt die Lehrperson die Geschichte vom Bauern Piepenbrink: Wegen dem Bau einer Umfahrungsstraße bietet die Gemeinde dem Bauern Piepenbr...    mehr

Nach einigen organisatorischen Informationen erzählt die Lehrperson die Geschichte vom Bauern Piepenbrink: Wegen dem Bau einer Umfahrungsstraße bietet die Gemeinde dem Bauern Piepenbrink einen Landtausch an. Zwei kleine quadratische Felder sollen in ein angrenzendes großes quadratisches Feld umgetauscht werden. Der Bauer weiß nicht recht, ob er dem Handel zustimmen soll, doch seine Nichte berechnet die Flächen der Felder und rät ihrem Onkel auf den Tausch einzusteigen. Von dem Handel erzählt Bauer Piepenbrink am Stammtisch. Seine zwei Kollegen, Bauer Plattfuß und Bauer Großmaul, wollen daraufhin auch zwei kleine quadratische Felder in ein großes quadratisches Feld umtauschen. Die Lehrperson teilt die Pläne, wie die Felder der Bauern liegen an die Schüler aus. Jede Gruppe bearbeitet eine Felderkombination. Sie sollen herausfinden, ob sich der Tausch für "ihren" Bauern lohnt. Bei Bauer Piebenbrink bilden die Felderquadrate, die an den Ecken zusammenstossen in der Mitte einen Leerraum in Form eines rechtwinkligen Dreiecks, bei Bauer Plattfuß ein stumpfwinkliges, bei Bauer Großmaul ein spitzwinkliges Dreieck. Die Schülergruppen präsentieren ihre Erkenntnisse. Sie haben festgestellt, dass bei Bauer Piepenbrink die Flächen der kleinen Quadrate zusammen die Fläche des großen Quadrates ergibt, bei Bauer Plattfuss das große Quadrat größer und bei Bauer Großmaul kleiner, als die Flächen der beiden kleinen Quadrate zusammen. Ein Schüler, der Bauer Piepenbrinks Felder bearbeitet hat, vermutet, dass die Flächengleichheit mit dem rechtwinkligen Dreieck zwischen den Feldern zu tun hat. So kommt die ganze Klasse auf die Dreiecke zwischen den Feldern zu sprechen, und stellt fest, dass bei den Quadraten, die um das rechtwinklige Dreieck angeordnet sind, die Flächen der beiden kleineren zusammen die Fläche des größeren ergeben. Da nun scheinbar oft von rechtwinkligen Dreiecken gesprochen wird, führt die Lehrperson die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck ein. Mit den neu erlernten Begriffen versuchen die Schülerinnen und Schüler im Plenum ihre Erkenntnisse bezüglich der Quadrate über den Dreiecksseiten in einem Satz zu formulieren. Schließlich wird eine befriedigende Formulierung gefunden. Diese schreiben die Schülerinnen und Schüler in ihre Theorieblätter. Anschließend überprüfen sie den behaupteten Satz selbständig an einigen Übungsaufgaben aus dem Buch. (Projekt)    weniger

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Nach der Pause haben die Schülerinnen und Schüler noch etwas Zeit, um an den Übungsaufgaben weiter zu rechnen. Anschließend werden diese besprochen. Da es sich bei dem Satz immer noc...    mehr

Nach der Pause haben die Schülerinnen und Schüler noch etwas Zeit, um an den Übungsaufgaben weiter zu rechnen. Anschließend werden diese besprochen. Da es sich bei dem Satz immer noch um eine Behauptung handelt, soll er nun bewiesen werden. Als erstes wird die Pythagorasfigur, der das Hypotenusenquadrat abgeschnitten wurde mit drei rechtwinkligen Dreiecken zu einem Quadrat, dessen Seite aus der Summe der beiden Katheten besteht, ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler zeigen unter der Leitung der Lehrperson, dass es sich bei der neuen Figur wirklich um ein Quadrat handelt. Ebenso geht die Klasse mit der Pythagorasfigur vor, der die beiden Kathetenquadrate abgeschnitten wurden. Dann wird in der Klasse gezeigt, dass die beiden neuen Quadrate gleich groß sind, und also die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat ist. Anschließend formulieren die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe der Lehrperson einen Theorieeintrag, dazu kleben sie die Skizzen, die während der Entwicklung des Beweises entstanden sind. Vor dem Ende der Lektion gib die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt, dabei handelt es sich um einschrittige Seitenberechnungen im rechtwinkligen Dreieck. (Projekt)    weniger

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Nach einigen organisatorischen Äußerungen, zeigt die Lehrperson eine Projektorfolie, auf der die Pythagorasfigur um das Dreieck mit den Seitenverhältnissen drei, vier und fünf dargeste...    mehr

Nach einigen organisatorischen Äußerungen, zeigt die Lehrperson eine Projektorfolie, auf der die Pythagorasfigur um das Dreieck mit den Seitenverhältnissen drei, vier und fünf dargestellt ist. Die Quadrate wurden mit einem Raster in neun, sechzehn und fünfundzwanzig Quadrätchen unterteilt. An Hand dieser Darstellung wird der am Vortag gelernte Satz und den dazugehörigen Beweis für eine Schülerin, die am Vortag gefehlt hat, repetiert. Anschließend erzählt die Lehrperson aus dem Leben des Pythagoras und über den Bekanntheitsgrad des Satzes im alten Ägypten und in Babylonien. Dann werden die Hausaufgaben besprochen. Dabei handelte es sich um einschrittige Dreiecksberechnungen. Das bringt die Schülerinnen und Schüler auf die Umkehrung des Satzes, diese formulieren sie und schreiben sie in die Theorieblätter. Die Lehrperson hat an einer zwölf Meter langen Schnur im Abstand von einem Meter Markierungen angebracht. Mit der Erklärung, dass die ägyptischen Bauern mit diesem Gerät nach den Nilüberschwemmungen ihre Felder neu begrenzt haben, wird ein großes rechtwinkliges Dreieck gespannt und zur Kontrolle, ob es auch wirklich rechtwinklig ist, von der Klasse berechnet. Auch erzählt die Lehrperson, dass ihre Schwester Archäologin ist, und im Gelände Quadrate von zwanzig Metern Seitenlänge abstecken muss. Die Schülerinnen und Schüler berechnen, wie lange das Seil, dass sie benötigt, sein muss, um ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit einer Kathetenlänge von zwanzig Metern zu erhalten. Anschließend berechnen die Schülerinnen und Schüler selbständig einschrittige Übungsaufgaben, die vor der Pause noch in der Klasse besprochen werden. Die Lektion endet mit einigen organisatorischen Angaben. (Projekt)    weniger

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Die Lektion beginnt mit wenigen organisatorischen Informationen. Nach einer Einstimmung mit Bildern von Bauwerken der alten Ägypter und Römer, äußern sich die Schülerinnen und Schüler...    mehr

Die Lektion beginnt mit wenigen organisatorischen Informationen. Nach einer Einstimmung mit Bildern von Bauwerken der alten Ägypter und Römer, äußern sich die Schülerinnen und Schüler spontan. Ausgehend von der Frage wie „draußen auf dem Feld“ im rechten Winkel gebaut werden könne, zeigt die Lehrperson, dass mit einer Schnur ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, wenn die Längen der drei Schnurabschnitte im Verhältnis drei, vier und fünf zueinander stehen. Danach fordert die Lehrperson die Schüler und Schülerinnen auf, in Gruppen zu diskutieren und herauszufinden wie die Zahlen der pythagoräischen Zahlentripeln mathematisch zusammenhängen. Dazu wird ein Blatt mit verschiedenen Zahlentripeln abgegeben. An einem Gruppentisch ist der Satz des Pythagoras bereits bekannt. Diese Schülerinnen und Schüler werden nun auf die anderen Gruppen verteilt, um so ihr Wissen an den Rest der Klasse weiterzugeben. Um die Aussagen der Schülerinnen und Schüler zu bestätigen, stellt die Lehrperson den Satz des Pythagoras an der Wandtafel mit einem roten Hypotenusen- und grünen Kathetenquadraten graphisch dar. Danach berechnen die Schülerinnen und Schüler mit dem neu gelernten Satz selbständig die fehlenden Seiten von verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken, ohne dass die Lehrperson vorgezeigt hat, wie solche Aufgaben zu lösen sind. Nachdem die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit hatten, ihre Resultate zu korrigieren, erhalten sie ein Blatt, auf dem sie die Pythagorasfigur entsprechend der Wandtafeldarstellung anmalen und in ihr Theorieheft einkleben. Danach werden in Stillarbeit weitere Dreiecksseiten berechnet und kontrolliert. Um die Lektion abzurunden, wiederholt die Lehrperson vor der Pause das in dieser Lektion Gelernte. (Projekt)    weniger

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Die Lehrperson eröffnet die Stunde, indem sie die Schülerinnen und Schüler auffordert, benötigtes Material zur Geometrie hervor zu holen. Danach gibt die Lehrperson das neue Thema ...    mehr

Die Lehrperson eröffnet die Stunde, indem sie die Schülerinnen und Schüler auffordert, benötigtes Material zur Geometrie hervor zu holen. Danach gibt die Lehrperson das neue Thema „Der Satz des Pythagoras“ bekannt. Sie erzählt von Pythagoras, was er gemacht und herausgefunden hat. Nachdem die Lehrperson eine grafische Darstellung mit den Quadratflächen über den Seiten an der Wandtafel erstellt und die Formel a2+b2=c2 dazu geschrieben und erläutert hat, zeigt sie an der Wandtafel mit Hilfe von Papierquadraten und Dreiecken den Ergänzungsbeweis. Die Lehrperson erzählt noch die Geschichte von Pythagoras und seinen Errungenschaften fertig, bevor sie ein Theorieblatt mit dem Satz des Pythagoras als Formel und dessen Beweis den Lernenden verteilt. Anhand dieses Blattes erklärt die Lehrperson anschließend die Umformungen der pythagoräischen Formel. Danach erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die Lösungsprozedur einer einschrittigen Aufgabe zur Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck. Nachdem eine ähnliche weitere bearbeitet wurde, arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbständig im Buch an ähnlichen einschrittigen Aufgaben weiter. Während der Schülerarbeitsphase unterbricht die Lehrperson kurz die Einzelarbeit, um zu erklären, dass der rechte Winkel bei Aufgabe zwei immer bei C ist. Zum Schluss gibt die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt und gibt den Lernenden noch einen allgemeinen Hinweis über das Lernen, wie man an Aufgaben herangeht. Die Lernenden sollen, um Fehler zu vermeiden, die Instruktionen genau lesen und befolgen und nur berechnen, was gefragt ist. (Projekt)    weniger

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Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will wissen, ob jemand Pythagoras und dessen berühmten Satz kennt. Nachdem eine Schülerin diesen genannt hat, ...    mehr

Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will wissen, ob jemand Pythagoras und dessen berühmten Satz kennt. Nachdem eine Schülerin diesen genannt hat, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler in einem Klassengespräch die Grundprinzipien des Satzes. Sie hält die erarbeitete Theorie fortlaufend in einer grafischen Darstellung an der Wandtafel fest. Indem die Lehrperson die Quadrate über den Dreiecksseiten zeichnet, veranschaulicht sie auf geometrische Weise a2+b2=c2. Danach führt die Lehrperson wiederum in einem fragend-entwickelnden Klassengespräch einen algebraischen Beweis durch. Danach verteilt die Lehrperson ein Merkblatt, welches von den Schülerinnen und Schülern noch fertig bearbeitet werden muss. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen dabei das neu Gelernte auf ihr Blatt. Im Anschluss an die Einzelarbeit erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Lernenden die allgemeine Formulierung des Satzes. Danach wird gemeinsam die Lösungsprozedur dreier verschiedener Aufgaben, welche in dieser Form noch nicht bearbeitet wurden, gelöst. Es handelt sich um zwei Konstruktionsaufgaben, in denen ein Quadrat mit einem bestimmten Flächeninhalt konstruiert werden soll und um eine Berechnungsaufgabe, wo es um die Berechnung einer Seite im rechtwinkligen Dreieck geht. Fünf Minuten vor Schluss haben die Lernenden noch Gelegenheit, selber einen weiteren Beweis, einen Zerlegungsbeweis, handelnd zu entdecken. (Projekt)     weniger

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Zu Beginn der dritten Lektion tragen die Lernenden, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens, das neu erworbene mathematische Wissen vom Vortag nochmals zusammen. Danach erkundigt...    mehr

Zu Beginn der dritten Lektion tragen die Lernenden, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens, das neu erworbene mathematische Wissen vom Vortag nochmals zusammen. Danach erkundigt sich die Lehrperson, ob alle Schülerinnen und Schüler das Puzzle für den Zerlegungsbeweis zu Hause fertig einkleben konnten und erläutert diesen nochmals ganz kurz. Darauf gibt sie das Thema der Stunde bekannt. Sie möchte mit etwas Theoretischem einsteigen und dann an den Aufgaben auf dem Übungsblatt weiterarbeiten. Mit der Frage „Wie lautet die Umkehrung des Satzes von Pythagoras?“ , startet die Lehrperson in den Theorieteil. In einem fragend-entwickelnden Lehr-Lerngespräch entwickelt sie zusammen mit den Lernenden den Beweis der Umkehrung, wenn a2+b2=c2, dann muss Gamma neunzig Grad sein. Die Lehrperson notiert und zeichnet fortlaufend die neu erworbenen Kenntnisse an die Wandtafel. Nach der Beweisführung verteilt die Lehrperson ein Theorieblatt. Während die Lehrperson die Blätter verteilt, nehmen die Schülerinnen und Schüler ihre Übungsblätter mit den Hausaufgaben hervor, die nun im Klassenverband besprochen werden. Für die Konstruktionsaufgabe werden zwei unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt. Bei der Aufgabe mit dem Rhombus verweist die Lehrperson nochmals ausdrücklich, dass sich die Schülerinnen und Schüler jeweils gut überlegen sollen, wo sich im Dreieck die längste Seite befindet, beziehungsweise, wo der rechte Winkel liegt, dass die Bezeichnung der Seite nicht wesentlich ist und ändern kann. Bevor die letzte Aufgabe der Hausaufgaben besprochen wird, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler die Prozedur dreier anspruchsvoller Aufgaben ohne Zahlen. Es handelt sich dabei um die Berechnung der Diagonale im Quadrat, der Höhe im gleichseitigen Dreieck und der Diagonale im Würfel. Nachdem die Schülerinnen und Schüler noch die Resultate der letzten Hausaufgabe gelesen und verglichen haben, verweist die Lehrperson auf die Bemerkung am Schluss der Aufgabenstellung: Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck und können die Seitenlängen durch ganze Zahlen ausgedrückt werden, handelt es sich um Pythagoräische Zahlentripel. Die Lehrperson stellt anhand einer Aufgabe den Diophantischen Algorithmus vor. Dabei handelt es sich um eine Methode, wie man Pythagoräische Zahlentripel finden kann. Gemeinsam machen sie zwei Durchläufe. Daraufhin sollte jeder Lernende selbständig drei weitere Tripel, im Sinne einer Übung, finden. Die Lehrperson beschließt die Stunde, indem sie den Schülerinnen und Schüler die drei Durchläufe als Aufgaben mit nach Hause gibt. (Projekt)    weniger