Bestandteil von: Pythagoras - Videogestützte Unterrichtsstudie / Unterrichtsbeobachtung (Daten): Pythagorasmodul

Nach der Pause gibt die Lehrperson das Thema der Stunde bekannt. Die Lernenden sollen erste Anwendungen des Satzes von Pythagoras kennen lernen. Zusammen mit den Schülerinnen und S...    mehr

Nach der Pause gibt die Lehrperson das Thema der Stunde bekannt. Die Lernenden sollen erste Anwendungen des Satzes von Pythagoras kennen lernen. Zusammen mit den Schülerinnen und Schülern zeigt die Lehrperson nochmals die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks auf und erstellt am Hellraumprojektor eine grafische Darstellung mit den Quadratflächen über den Seiten: Die Relevanz des Satzes von Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck wird aufgezeigt. In der folgenden Schülerarbeitsphase sollen die Schülerinnen und Schüler anhand eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem man die Länge der beiden Katheten kennt, die Hypotenuse berechnen. Sie sollen das Resultat an den Gruppentischen besprechen. Haben sie ein richtiges Tischresultat, sollen sie eine weitere ähnliche Aufgabe lösen. Diesmal ist eine der Katheten gesucht. Das Resultat der zweiten Aufgabe wird im Anschluss an die Gruppenarbeit in der Klasse besprochen. Danach erhalten die Schülerinnen und Schüler einen neuen Auftrag. Selbständig sollen sie an elf ähnlich einschrittigen und mehrschrittig anspruchsvolleren Aufgaben zur Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck und im Rechteck arbeiten. Während der Einzelarbeitsphase gibt die Lehrperson drei weitere mehrschrittige Aufgaben bekannt, an denen die Lernenden arbeiten können. Es werden keine Aufgaben vorbesprochen. Zum Schluss der Doppellektion gibt die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt. (Projekt)    weniger

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Die Lehrperson eröffnet die Stunde, indem sie die Lernenden auffordert, die am Vortag neu gelernten mathematischen Inhalte (Satz von Pythagoras anhand des Ergänzungsbeweis) zu repeti...    mehr

Die Lehrperson eröffnet die Stunde, indem sie die Lernenden auffordert, die am Vortag neu gelernten mathematischen Inhalte (Satz von Pythagoras anhand des Ergänzungsbeweis) zu repetieren. Gemeinsam entwickeln die Lernenden und die Lehrperson diese in einem Klassengespräch. Danach zeigt eine Schülerin anhand eines Modells am Hellraumprojektor einen Zerlegungsbeweis. Sie bildet aus den in kleine Quadrate aufgeteilten Flächen über den Katheten das Quadrat über der Hypothenuse und zeigt so nochmals den Satz von Pythagoras auf. Nach dem Beweis verteilt die Lehrperson ein Übungsblatt. Es handelt sich um eine Tabelle mit sechs Berechnungen zu den Seiten und den Quadraten über dem rechtwinkligen Dreieck. In den drei ersten Aufgaben ist jeweils eine der Katheten und die Hypothenuse oder zwei der Katheten gegeben. In den drei mehrschrittigen Aufgaben ist nur noch eine Seite des rechtwinkligen Dreiecks gegeben in Form einer Wurzel. Die Schülerinnen und Schüler lösen die ersten drei Aufgaben. Nach der Einzelarbeit werden die Resultate kontrolliert, indem die Lernenden die Resultate nennen. Bevor die Schülerinnen und Schüler an den nächsten drei Aufgaben weiter rechnen, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit ihnen, wie man das Quadrat einer Wurzel erhält. Nachdem die Lernenden erste Lösungen für die nächste Aufgabe gefunden haben, kontrollieren sie diese in der Klasse. Danach versuchen die Schülerinnen und Schüler noch die beiden letzten Aufgaben selbständig zu lösen. Die Lehrperson kontrolliert fortlaufend individuell die Resultate. Für die gesuchten Längen wünscht sie ausdrücklich natürliche Zahlen. Im Anschluss an die Einzelarbeit zeigt die Lehrperson zusammen mit den Lernenden eine Strategie, wie die Resultate einfacher gefunden werden können. Bevor die Schülerinnen und Schüler selbständig an vier neuen mehrschrittigen, anspruchsvollen Aufgaben zur Berechnung von Umfang und Fläche in einem Dreieck und zur Berechnung von Diagonale und Fläche eines Rhombus arbeiten, korrigiert die Lehrperson mit den Lernenden die Hausaufgaben, indem sie die Resultate liest. Dann bespricht sie noch mit ihnen die ersten Schritte der Rhombus-Aufgabe. Zusammen mit den Schülerinnen und Schüler definiert sie die Form eines Rhombus und zeigt ihnen, wie sie darin rechtwinklige Dreiecke finden können, die für die Berechnungen wichtig sind. (Projekt)    weniger

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Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Danach diktiert die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Aufgabenkatalog, den diese in ihr Theorieheft schreibe...    mehr

Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Danach diktiert die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Aufgabenkatalog, den diese in ihr Theorieheft schreiben und die aufgeschriebenen Aufträge dann auch ausführen: Sie sollen sechs Quadrate, die die Seitenlängen von zwei pythagoräischen Zahlentripeln aufweisen, ausschneiden, die zusammengehörenden zu Pythagorasfiguren zusammenlegen und ihre Beobachtungen dazu schriftlich festhalten. Während die Schülerinnen und Schüler die Aufträge zur Exploration des Satzes von Pythagoras der Reihe nach ausführen, erklärt die Lehrperson, was mit „zu einem Dreieck zusammenlegen“ gemeint ist, eben die Pythagorasfigur legen. Schließlich geht die Lehrperson den Aufgabenkatalog Punkt für Punkt durch, die Schüler geben ihre Beobachtungen an die Klasse weiter. Da der Satz des Pythagoras bei einigen Schülern schon bekannt ist, kommt dieser als Beobachtung bald zur Sprache. An dieser Stelle erklärt die Lehrperson, was der Satz des Pythagoras ist. Danach wird ein weiterer Punkt aus dem Katalog besprochen, was die Lehrperson dazu verleitet, der Klasse etwas über den Mathematiker und Philosophen Pythagoras aus dem Lexikon vorzulesen. Schließlich wird der letzte Punkt besprochen: Weitere Dreiecke suchen, von denen die Summe zweier Seitenquadrate das Quadrat der dritten ergibt. Danach sollen die Schüler selbständig einen Eintrag in ihr Theorieheft machen. Bevor der Film zu Ende ist, beginnt die Lehrperson den Beweis an Hand des Kathetensatzes vorzuzeigen. (Projekt)    weniger

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Die Doppellektion wird ohne Pause bestritten, weshalb die Schülerinnen und Schüler immer noch die Ausführungen der Lehrperson an der Wandtafel verfolgen und hie und da zum Lehrgesp...    mehr

Die Doppellektion wird ohne Pause bestritten, weshalb die Schülerinnen und Schüler immer noch die Ausführungen der Lehrperson an der Wandtafel verfolgen und hie und da zum Lehrgespräch einen Beitrag leisten. Im letzten Teil der Doppelstunde übernehmen die Schülerinnen und Schüler den Beweis in ihr Theorieheft. (Projekt)    weniger

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Als erstes fordert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler auf, mit Hilfe einer Schnur, einem Filzstift und einem Maßstab einen rechten Winkel „herzustellen“. Keinem der Schüler...    mehr

Als erstes fordert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler auf, mit Hilfe einer Schnur, einem Filzstift und einem Maßstab einen rechten Winkel „herzustellen“. Keinem der Schülerinnen und Schüler will das so recht gelingen. Die Lehrperson verweist auf das aktuelle Geometrie-Thema und zeigt den Anwesenden vor, wie mit zwölf gleichen Abschnitten ein rechtwinkliges Dreieck gelegt werden kann. Nun schreiben die Schülerinnen und Schüler den Theoriehefteintrag zum Beweis der vorigen Stunde in ihr Theorieheft ab. Wer fertig ist, löst einige einschrittige Aufgaben zur Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck. Im Plenum wird eine mehrschrittige Aufgabe gelöst, mit der die Lehrperson darauf hinweisen will, dass die Dreiecke, die bei diesen Aufgaben vorkommen, nicht immer rechtwinklig sind, und dass die rechtwinkligen Dreiecke zuerst gesucht werden müssen. Anschließend werden die Resultate der Zusatzaufgaben kontrolliert. Danach lösen die Schülerinnen und Schüler weitere komplexe und mehrschrittige Aufgaben in Stillarbeit. (Projekt)    weniger

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Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will mit den Lernenden den Satz des Pythagoras kennenlernen und schauen, wie Pythagoras zu dieser Erkenntnis g...    mehr

Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will mit den Lernenden den Satz des Pythagoras kennenlernen und schauen, wie Pythagoras zu dieser Erkenntnis gelangte. Problemorientiert entwickelt die Lehrperson mit der Klasse den Satz von Pythagoras. Sie lässt die Lernenden auf dem verteilten Blatt ein Quadrat mit einer vorgegebenen Länge zeichnen. Das rechtwinklige Dreieck, welches sie über der oberen Kante mit Hilfe des Thaleskreises konstruieren sollen, lässt die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler frei wählen, damit zu einem späteren Zeitpunkt bewiesen werden kann, dass der Satz von Pythagoras in jedem rechtwinkligen Dreieck Gültigkeit hat. Über den Katheten des rechtwinkligen Dreiecks lässt die Lehrperson die Lernenden die Kathetenquadrate einzeichnen. Während die Schülerinnen und Schüler in Einzelarbeit die drei entstandenen Quadrate einfärben, ermuntert die Lehrperson diejenigen Schülerinnen und Schüler, die schon fertig sind, sich zu überlegen, was wohl Pythagoras herausgefunden hat. Nach dieser Einzelarbeit nennt ein Schüler die Idee, dass die beiden kleinen Quadrate zusammen die gleiche Fläche haben wie das große Quadrat. Die Lehrperson übernimmt diesen Gedanken und erarbeitet gemeinsam mit den Schülerinnen und Schüler allgemeine Formulierungen. Die Lehrperson kann nun folgende Gleichung an die Wandtafel schreiben: c2=b2+a2. Zu dieser Formel lässt die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler einen Zerlegungsbeweis ausführen. Sie lässt die Lernenden die Quadrate über den Katheten in zwei, beziehungsweise drei Flächen einteilen. Die so entstandenen Stücke schneiden die Schülerinnen und Schüler aus und versuchen diese im Quadrat über der Hypotenuse selbständig entdeckend auszulegen. Wem dies gelungen ist, hilft anderen. Während dieser Schülerarbeitsphase legt die Lehrperson als Hilfe auf dem Hellraumprojektor eine mögliche Anordnung der Flächen auf dem Hypotenusenquadrat auf. Nachdem jeder Lernende die Möglichkeit hatte, eine Lösung zu finden, verteilt die Lehrperson ein Theorieblatt, um die eben gelernten Inhalte zu vertiefen. Jede Schülerin und jeder Schüler erhält Gelegenheit, das Blatt zu studieren. Danach werden in der Klasse die Begriffe "Kathete" und "Hypothenuse" erörtert. Das Theorieblatt enthält einen weiteren Beweis, den die Lehrperson aus Zeitmangel auf die nächste Stunde verschiebt. Nachdem eine Schülerin den Satz nochmals laut vorgelesen hat, zeigt die Lehrperson anhand eines Zahlenbeispiels, wie man mit dem Satz von Pythagoras Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen kann. Sie zeigt, wie man aus den beiden Katheten die Hypothenuse berechnen kann. Im Anschluss daran, lösen sie gemeinsam drei ähnliche einschrittige Aufgaben. Die Lehrperson schließt die Stunde, indem sie die Hausaufgaben bekannt gibt. (Projekt)    weniger

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Die Lehrperson eröffnet die erste Lektion der Doppelstunde, indem sie das Thema der Lektion bekannt gibt. Sie möchte zusammen mit den Lernenden den Satz von Pythagoras repetieren u...    mehr

Die Lehrperson eröffnet die erste Lektion der Doppelstunde, indem sie das Thema der Lektion bekannt gibt. Sie möchte zusammen mit den Lernenden den Satz von Pythagoras repetieren und vertiefen. Die Lernenden nennen die Formel a2+b2=c2 und deren allgemeine Formulierung. Anschließend an diese Wiederholung fasst die Lehrperson nochmals zusammen, wie man eine der Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen kann, wenn zwei Seiten des Dreiecks bekannt sind. Danach zeigt sie, wie in der ersten Lektion angekündigt, einen weiteren Beweis, einen Ergänzungsbeweis, der zeichnerisch dargestellt ist. Nachdem die Lehrperson den Satz nochmals repetiert und auf die Umkehrungen und auf die Formeln der Seitenberechnungen auf dem Theorieblatt verwiesen hat, kontrollieren sie die Hausaufgaben. Da der erste Teil der Hausaufgaben noch nicht zur Befriedigung der Lehrperson gelöst wurde, gibt diese den Lernenden Zeit, den Zerlegungsbeweis, den sie ins Heft kleben mussten, nochmals zu bearbeiten und richtig zu beschriften. Anschließend an diese Einzelarbeit erfolgt nun die Kontrolle der Berechnungsaufgaben aus dem Buch. Die Lernenden nennen die Rechnungen und die Resultate. Bevor die Lehrperson die als nächstes zu bearbeitenden Aufgaben bekannt gibt, schaut sie, wer von den Schülerinnen und Schülern bei den eben kontrollierten Aufgaben wo Probleme hatte. Die Lehrperson teilt die Klasse in zwei Gruppen ein. Schülerinnen und Schüler, welche die Hausaufgaben ohne Probleme lösten und alles richtig hatten, sollen die nächsten Aufgaben im Buch bearbeiten. Es handelt sich um mehrschrittige anspruchsvollere Aufgaben im Rechteck und im gleichschenkligen Dreieck. Zusammen mit den Schülerinnen und Schülern, die bei den Hausaufgaben Probleme hatten, erarbeitet sie den gesamten Lösungsweg derjenigen Aufgaben, die Mühe bereiteten. Nach der Aufgabenbesprechung arbeiten alle selbständig an der Aufgabe im Rechteck und im gleichschenkligen Dreieck weiter. Die Lehrperson kontrolliert individuell erste Resultate, der Schülerinnen und Schüler, die bei der Aufgabenbesprechung nicht teilnahmen. Zum Schluss löst die Lehrperson zusammen mit allen Lernenden eine Aufgabe zur Berechnung des Umfangs im gleichschenkligen Dreieck. Zuerst nennt aber noch ein Schüler das Resultat der ersten Aufgabe, die von den meisten Lernenden fertig bearbeitet wurde. Die angefangene Aufgabe zur Berechnung des Umfangs wird in der anschließenden Lektion fertig bearbeitet. (Projekt)    weniger

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Die Lehrperson löst mit den Schülerinnen und Schüler die angefangene Aufgabe fertig. Danach unterbricht die Lehrperson den Unterricht, um kurz Pause zu machen. Nach der Pause bearb...    mehr

Die Lehrperson löst mit den Schülerinnen und Schüler die angefangene Aufgabe fertig. Danach unterbricht die Lehrperson den Unterricht, um kurz Pause zu machen. Nach der Pause bearbeitet die Lehrperson zusammen mit den Lernenden eine mehrschrittige Aufgabe zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Dreiecks. Im Anschluss daran gibt die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt und klärt einige organisatorische Belange. Bevor die Lehrperson die Doppellektion beendet, erhalten die Schülerinnen und Schüler noch Gelegenheit, an den Hausaufgaben zu arbeiten. (Projekt)    weniger

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In einer längerdauernden öffentlichen problemorientierten Phase (Zahlentripel) wird der Satz des Pythagoras problemorientiert erarbeitet. Zuerst gibt die Lehrperson dazu den Schüleri...    mehr

In einer längerdauernden öffentlichen problemorientierten Phase (Zahlentripel) wird der Satz des Pythagoras problemorientiert erarbeitet. Zuerst gibt die Lehrperson dazu den Schülerinnen und Schülern den Auftrag, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen, dieses zu beschriften und die Seiten zu messen. Danach werden von den Schülerinnen und Schülern die Maße dreier, von ihnen gezeichneter Dreiecke diktiert, und die Lehrperson schreibt die Maße an die Wandtafel. Darauf trägt die Klasse in einem entwickelnden Lehr- und Lerngespräch beobachtbare Zusammenhänge zwischen den Dreieckseiten ihrer gezeichneten rechtwinkligen Dreiecke zusammen. Ergänzend dazu schreibt die Lehrperson das Zahlentripel 3, 4, 5 an die Wandtafel und gibt den Schülerinnen und Schülern den Auftrag die Quadratzahlen der Seitenlängen von ihrem und von diesem Dreieck zu berechnen. Dies geschieht alles in einer öffentlichen Phase und in der Folge des entwickelnden Lehr- und Lerngesprächs wird die Formel des Pythagoras genannt. Diese wird von der Klasse mit den Beispielen an der Wandtafel überprüft. Dabei stellt die Klasse fest, dass aufgrund von Messungen Ungenauigkeiten auftreten. Die Lehrperson äußert dazu, dass die Formel von Pythagoras aber trotzdem als allgemeingültig angenommen werden kann. Die Formel a2+b2 =c2 wird von der Lehrperson an die Wandtafel geschrieben. In der Folge entwickelt die Lehrperson mit der Klasse problemorientiert einen Beweis des Satzes von Pythagoras. Dabei wird zuerst anhand eines entwickelnden Lehr- und Lerngesprächs besprochen, wie die Quadratzahlen grafisch dargestellt werden. Darauf wird die Formel a2+b2 =c2 von den Schülerinnen und Schülern mit ihren Legeformen aus Plastik dargestellt, die Lehrperson zeigt es gleichzeitig am Hellraumprojektor vor. Nun gibt die Lehrperson die Anweisung, aus den vorhandenen Dreiecken und Vierecken zwei deckungsgleiche Vierecke zu bauen. Die zwei deckungsgleichen Vierecke entsprechen der grafischen Darstellung des Ergänzungsbeweises. Da einigen Schülerinnen und Schülern das Material fehlt, arbeiten sie in Gruppen. In der nächsten Phase entwickelt die Lehrperson auf der Basis der gelegten Quadrate den Beweis. Darauf benennt die Lehrperson die Formel als Satz des Pythagoras. Bei der Erläuterung des Arbeitsplans, macht die Lehrperson die Lernenden darauf aufmerksam, dass sie in den nächsten Wochen mit dieser Formel rechnen werden. Die Lehrperson erklärt weitere organisatorische Belange genau: Das selbständige Aufstellen des Zeitrahmens, die Anzahl der Aufgaben, welche von den Lernenden bearbeitet werden und die Arbeitsform (Arbeit in Gruppen). Zum Schluss der Stunde gibt die Lehrperson den Auftrag, einen Theoriehefteintrag zu schreiben. Dafür schreiben die Schülerinnen und Schüler die Anschriften der Wandtafel und einen Teil des Beweises ab und einen anderen Teil des Beweises, den sie auf einem Blatt erhalten haben, kleben sie ins Heft. Wer mit dieser Arbeit nicht fertig wird, macht sie nach der Pause fertig. (Projekt)    weniger

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Zu Beginn der Lektion beenden die Schülerinnen und Schüler den Hefteintrag der ersten Lektion. Danach wird gemeinsam in der Klasse eine Aufgabe besprochen. Bei dieser Aufgabe geht ...    mehr

Zu Beginn der Lektion beenden die Schülerinnen und Schüler den Hefteintrag der ersten Lektion. Danach wird gemeinsam in der Klasse eine Aufgabe besprochen. Bei dieser Aufgabe geht es um die Berechnung der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Darauf erarbeitet die Lehrperson mit der Klasse die Berechnung der Kathete. In der Folge erteilt die Lehrperson der Klasse den Auftrag, am Arbeitsplan zu arbeiten, welcher zwölf Aufgaben umfasst. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten in Gruppen. Die Aufgaben die von den Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden, sind der gemeinsam bearbeiteten und der gemeinsam besprochenen Aufgabe zum größten Teil ähnlich. Es geht dabei um die Berechnung der Hypotenuse und der Katheten in rechtwinkligen Dreiecken. Ebenso werden zwei mehrschrittige Aufgaben bearbeitet (Berechnung von Diagonalen im Rechteck und der Basishhöhe von gleichschenkligen Dreiecken). (Projekt)    weniger