part of: Pythagoras - Videogestützte Unterrichtsstudie / Classroom observation (data): Pythagorasmodul

Zu Beginn der dritten Lektion formulieren mehrere Schülerinnen und Schüler den Satz des Pythagoras auswändig, gemäss dem Theorieeintrag vom Vortag, im Sinne einer Aktivierung des Vorwi...    more

Zu Beginn der dritten Lektion formulieren mehrere Schülerinnen und Schüler den Satz des Pythagoras auswändig, gemäss dem Theorieeintrag vom Vortag, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens. Danach werden die Hausaufgaben kontrolliert. Bei einer Aufgabe werden die Lösungsschritte aufgezeigt. Im Weiteren wird gemeinsam eine Aufgabe zur Berechnung einer Kathetenlänge gelöst, die den Aufgaben des Vortages ähnlich ist. Darauf kommt die Lehrperson kurz auf die pythagoräischen Zahlentrippel zu sprechen. Anschließend lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig eine weitere Aufgabe zur Seitenberechnung in rechtwinkligen Dreiecken. Eine Schülerin schreibt den Lösungsweg an die Wandtafel. Die Aufgabe wird gemeinsam besprochen. Danach lösen die Lernenden fünf weitere Aufgaben, die der vorgezeigten zum größten Teil ähnlich, zum Teil auch anspruchsvoller sind. Bei den anspruchsvolleren Aufgaben geht es zusätzlich um die richtige Zuteilung des rechten Winkels im Dreieck und um die Berechnung der Basishöhe in einem gleichschenkligen Dreieck. Die Ergebnisse werden gemeinsam kontrolliert. Darauf erteilt die Lehrperson den Arbeitsauftrag für vier verschiedene Aufgaben, wobei die Lehrperson bei einer Aufgabe auf zentrale Lösungsschritte verweist. Die Aufgaben werden von den Lernenden in einer der folgenden, nicht-gefilmten Lektionen selbständig gelöst. (Projekt)    less

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Zu Beginn dieser Lektionsreihe informiert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler über das Filmteam. Darauf zeigt die Lehrperson auf einer Folie am Hellraumprojektor zwei blaue...    more

Zu Beginn dieser Lektionsreihe informiert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler über das Filmteam. Darauf zeigt die Lehrperson auf einer Folie am Hellraumprojektor zwei blaue Quadrate (entsprechen a2, b2) und ein grünes (entspricht c2) Quadrat. Der Auftrag dazu lautet: Vergleiche die grünen und die zwei blauen Flächen (=Grundlage für Ergänzungsbeweis). Das wird zuerst gemeinsam in der Klasse besprochen. Dabei äußern die Schülerinnen und Schüler verschiedene Vermutungen, welche Figur größer ist. In der Folge leitet die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler an, diese Vermutungen zu überprüfen und zu begründen oder zu beweisen. Daraufhin schieben die Schülerinnen und Schüler ihre Tische zu Gruppentischen zusammen (jeweils vier bis fünf Schülerinnen und Schüler). Danach verteilt die Lehrperson Arbeitsblätter, auf denen dieselben Quadrate abgebildet sind. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten nun in ihren Gruppen selbständig entdeckend, wobei sie die Quadrate ausschneiden/ zerschneiden oder indem sie berechnen können. Die Lehrperson unterbricht diese Sequenz und nun sammelt die Klasse die Gruppenergebnisse. Diese werden jeweils von einer Gruppe vorgestellt und die Lehrperson schreibt die Ergebnisse an die Wandtafel. Die Klasse einigt sich mehr oder weniger darauf, dass die Flächen mit Einbezug von Messungenauigkeiten gleich groß sind. Danach stellt die Lehrperson den Beginn eines mathematischen Lösungsweges einer der fünf Gruppen vor. Dieser Lösungsweg entspricht dem Ergänzungsbeweis. Die Lehrperson leitet die Gruppen nun dazu an, die zwei Flächen c2+ vier Dreiecke und a2+ b2+ vier Dreiecke zu berechnen und zu vergleichen. In der Klasse wird aufgrund von Schwierigkeiten einzelner Schülerinnen und Schüler das Vorgehen schrittweise besprochen und von Schülerinnen und Schülern erklärt. Die Lösungen berechnen die Schülerinnen und Schüler in Vierer- oder Fünfergruppen. Die Gruppenarbeit wird durch eine Pause unterbrochen. (Projekt)    less

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Zu Beginn dieser Stunde arbeiten die Schülerinnen und Schüler weiter an der mathematischen Herleitung des Ergänzungsbeweises, womit die Klasse in der letzten Stunde bereits begonnen ...    more

Zu Beginn dieser Stunde arbeiten die Schülerinnen und Schüler weiter an der mathematischen Herleitung des Ergänzungsbeweises, womit die Klasse in der letzten Stunde bereits begonnen hat. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten in Vierer- oder Fünfergruppen. Sie arbeiten selbständig explorierend. Gemeinsam in der Klasse wird anschließend die mathematische Herleitung des Ergänzungsbeweises nachvollzogen und zur Formel a2+ b2= c2 aufgelöst. (Berechnung der jeweiligen Flächen von a2, b2, vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken/ die Flächen von c2, vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken. Gleichsetzung der beiden grossen Quadrate und die Auflösung davon). Somit ist bewiesen, dass a2+ b2= c2 ist. Danach zeigt die Lehrperson auf dem Hellraumprojektor eine Darstellung und benennt diese als Darstellung des Satzes von Pythagoras. Ein Schüler nennt dazu die Formel a2+ b2= c2. Danach übernehmen die Schülerinnen und Schüler die grafische Darstellung, die Ausformulierung sowie Formel und Titel des Satzes von Pythagoras in ihr Theorieheft. Die Lehrperson bricht die Einzelarbeit am Ende der Stunde ab. (Projekt)    less

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Der Filmbeginn stimmt nicht überein mit dem Beginn der Lektion. Die Schülerinnen und Schüler sitzen an ihren Pulten und die Folie des Vortages liegt auf dem Hellraumprojektor. Die ...    more

Der Filmbeginn stimmt nicht überein mit dem Beginn der Lektion. Die Schülerinnen und Schüler sitzen an ihren Pulten und die Folie des Vortages liegt auf dem Hellraumprojektor. Die Schülerinnen und Schüler beenden ihren Theoriehefteintrag. Währenddem schreibt die Lehrperson die Anleitung für eine Aufgabe an die Wandtafel. Nachdem die Schülerinnen und Schüler ihren Theoriehefteintrag beendet haben, lösen sie die Aufgabe in Einzelarbeit. Die Aufgabe ist anspruchsvoll. Es geht dabei um die Lage des rechten Winkels und die Berechnung der Hypotenuse. Danach schreibt ein Schüler den Lösungsweg an die Wandtafel und Lösungsweg sowie Lösung werden von der Klasse besprochen. Darauf gibt die Lehrperson eine weitere Aufgabe auf, die Maße schreibt die Lehrperson an die Wandtafel. Bei dieser Aufgabe geht es um die Berechnung einer Kathete. Auch diese Aufgabe ist anspruchsvoll und wird von den Schülerinnen und Schülern in Einzelarbeit gelöst. Zum Schluss der Lektion gibt die Lehrperson diese Aufgabe als Hausaufgabe auf. (Projekt)    less

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Nach einigen organisatorischen Äußerungen gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt: der Satz von Pythagoras. Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Blatt, auf dem vier identisch...    more

Nach einigen organisatorischen Äußerungen gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt: der Satz von Pythagoras. Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Blatt, auf dem vier identische Rechtecke mit den Seiten a und b zu einem Quadrat zusammengefügt wurden, so dass in der Mitte ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge (a-b) entsteht. Als erstes schreiben die Schülerinnen und Schüler alle Teilseiten des großen Quadrates mit a und b an. Dann wird in der Klasse die Fläche des Quadrates durch a und b ausgedrückt und an der Wandtafel aufgeschrieben. Anschließend zeichnen die Schülerinnen und Schüler die Diagonalen der Rechtecke, die sie c nennen, ein, so dass diese ein neues Quadrat bilden. In der Klasse wir vor allem durch die Lehrperson gezeigt, dass es sich dabei auch tatsächlich um ein Quadrat handelt. Von dieser neuen Figur (ein Quadrat, bestehend aus vier rechtwinkligen Dreiecken und einem kleineren Quadrat) wird die gesamte Fläche durch die Teilflächen ausgedrückt und mit der ersten Gleichung gleichgesetzt. An der Wandtafel wird die Gleichung nun auf den Satz des Pythagoras vereinfacht. Die ganze Herleitung wird von den Schülerinnen und Schülern auf das Blatt abgeschrieben. Anschließend wendet sich die Klasse der Verwendung des Satzes von Pythagoras zu. Mit Hilfe der Lehrperson wird die Formel zur Berechnung der Quadratdiagonalen hergeleitet. Danach werden ganzzahlige pythagoräische Zahlentrippel gesucht und benannt. Die griechischen Bezeichnungen für die Seiten im rechtwinkligen Dreieck werden repetiert und auf die pythagoräischen Zahlentrippel angewendet. (Projekt)     less

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Nach einigen organisatorischen Äusserungen, leitet die Lehrperson auf algebraische Weise aus dem Satz des Pythagoras den Höhensatz des Euklid ab. Die Schülerinnen und Schüler erhalt...    more

Nach einigen organisatorischen Äusserungen, leitet die Lehrperson auf algebraische Weise aus dem Satz des Pythagoras den Höhensatz des Euklid ab. Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Blatt, auf dem ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet ist. Auf die durch Einzeichnen der Höhe des rechtwinkligen Dreiecks entstandenen Teildreiecke wird der Satz des Pythagoras angewendet. Die zwei entstandenen Gleichungen werden addiert, die Seite a2+b2 durch c2, anschließend c durch p+q ersetzt. Die entstandene Gleichung wird von den Schülerinnen und Schülern selbständig auf den Höhensatz des Euklid vereinfacht. Da dies einigen Schülerinnen und Schülern Mühe bereitet, erklärt die Lehrperson noch einmal die einzelnen Schritte, die bis zu der zu vereinfachenden Gleichung gemacht wurden. Die Lehrperson schreibt den Lösungsweg an die Wandtafel. Anschließend erzählt sie den Schülerinnen und Schülern, wie im Altertum mit dieser Formel rechteckige Flächen verglichen werden konnten. So lernen die Schülerinnen und Schüler die Unterscheidung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel mit Hilfe eines Zahlenbeispiels. Die Herleitung des Satzes von Euklid und das Beispiel zur Berechnung des geometrischen Mittels schreiben die Schülerinnen und Schüler auf das Blatt ab. Abschließend berechnen die Schülerinnen und Schüler das geometrische Mittel von zwanzig und fünf. Die Lektion enden mit einigen organisatorischen Angaben. (Projekt)    less

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Zu Beginn der Lektion treffen die Schülerinnen und Schüler einige Vorbereitungen, mit deren Hilfe sie anschließend die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen. Zuerst berechnen sie...    more

Zu Beginn der Lektion treffen die Schülerinnen und Schüler einige Vorbereitungen, mit deren Hilfe sie anschließend die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen. Zuerst berechnen sie selbständig ein Zahlenbeispiel. Ein Schüler präsentiert den Lösungsweg an der Wandtafel. Daraus wird in der Klasse die allgemein gültige Formel abgeleitet. In der Klasse wird anschliessend ein weiteres Zahlenbeispiel berechnet sowie aus der Formel abgelesen, ob sich das Verhältnis zwischen Seite und Höhe linear verhält. Am Schluss der Lektion werden die Hausaufgaben korrigiert und besprochen. (Projekt)    less

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Zu Beginn der ersten Stunde der Pythagorasreihe gibt die Lehrperson das Thema bekannt. Danach liest ein Schüler von einer Folie des Hellraumprojektors Daten und weitere Ergänzungen z...    more

Zu Beginn der ersten Stunde der Pythagorasreihe gibt die Lehrperson das Thema bekannt. Danach liest ein Schüler von einer Folie des Hellraumprojektors Daten und weitere Ergänzungen zum Leben des Pythagoras vor. Danach kommt die Klasse auf den Satz des Pythagoras zu sprechen. Die Schülerinnen und Schüler haben schon ein ziemlich fundiertes Wissen und tragen wichtige Punkte zum Satz des Pythagoras zusammen. Danach übertragen die Schülerinnen und Schüler die Formel und die Ausformulierung des Satzes von der Hellraumprojektor- Folie in ihr Formelheft. In der Folge wird besprochen wie der Kehrsatz des Satzes von Pythagoras heißt. Dieser wird an der Wandtafel notiert und die Lernenden übertragen den Kehrsatz direkt in ihr Formelheft. Darauf erzählt die Lehrperson, dass der Satz des Pythagoras schon im Altertum seine Anwendung fand und untermalt dies mit einer Folie einer ägyptischen Wandmalerei, welche die Schülerinnen und Schüler auch in ihrem Schulbuch haben. Darauf diskutiert die Klasse, wofür der Satz des Pythagoras damals wohl gebraucht wurde. Anschließend erzählt die Lehrperson vom Seiltrick und zeigt mit der Unterstützung zweier Schüler diesen mit einer Schnur vor. Damit veranschaulicht die Lehrperson die Konstruktion und Verwendung des rechten Winkels. Die Klasse zählt darauf die Einteilungen der Schnur, um die Seitenlängen zu bestimmen. Zur Veranschaulichung überträgt die Lehrperson das Dreieck auf die Wandtafel und die Klasse überprüft die Seileinteilung rechnerisch. Darauf schreibt die Lehrperson 3e+4e=5e an die Wandtafel und fordert die Lernenden auf, Angaben zu den drei Seiten eines Dreicks zu machen, wenn e als beliebige Zahl angenommen wird. Die Schülerinnen und Schüler nennen zwei Beispiele. Die Lehrperson konstruiert diese Dreiecke mit drei Baumetern und der Mithilfe eines Schülers. In der Folge verlangt die Lehrperson von Neuem die Nennung dreier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei das bekannte Zahlentrippel und dessen Verfielfältigung mit e diesmal nicht als Berechnungsgrundlage dienen soll. Die Schülerinnen und Schüler finden ein richtiges Beispiel. Die Lehrperson rundet die Sequenz ab, indem sie darauf verweist, dass diese Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen, pythagoräische Zahlentrippel genannt werden. (Projekt)    less

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In einem entwickelnden Lehr- und Lerngepräch wird zu Beginn der zweiten Stunde erörtert, wozu der Satz des Pythagoras heute noch verwendet wird. Danach erarbeitet die Lehrperson mit ...    more

In einem entwickelnden Lehr- und Lerngepräch wird zu Beginn der zweiten Stunde erörtert, wozu der Satz des Pythagoras heute noch verwendet wird. Danach erarbeitet die Lehrperson mit der Klasse die Prozedur einer Aufgabe, bei der eine Kathete berechnet werden muss. Darauf gibt die Lehrperson den Auftrag für eine weitere Berechnung, die der vorhergehenden ähnlich ist. Die Seiten sind jedoch mit anderen Variablen bezeichnet. Zur Überprüfung dieser Rechnung schreibt ein Schüler den Lösungsweg und das Ergebnis an die Wandtafel, der Lehrer ergänzt die Wandtafelanschrift und empfiehlt den Schülerinnen und Schülern danach, immer zuerst den Satz des Pythagoras als Formel mit den entsprechenden Variablen aufzuschreiben, um so Fehler zu vermeiden. Darauf teilt die Lehrperson ein Blatt aus. Auf diesem steht die nächste Aufgabe. Die Lösungsprozedur der Aufgabe wird im Klassenverband entwickelt. Es geht dabei um die Anwendung des Pythagoras bei der Berechnung einer neuen Niederschlagswassergebühr in Darmstadt (wobei die Berechnung der Dachfläche wichtig ist ). Nach dem Abschluss dieser Aufgabe verteilt die Lehrperson ein neues Aufgabenblatt, auf dem eine griechische Briefmarke abgebildet ist. Sie stellt den Zerlegungsbeweis dar mit dem bekannten Zahlentrippel (3,4,5). Die Klasse überprüft rechnerisch, ob die Darstellung stimmt. In der Folge erteilt die Lehrperson den Auftrag fünf Teilaufgaben zu lösen. Die Schülerinnen und Schüler lösen diese in Einzelarbeit. Die Aufgaben sind dem bereits Bekannten ähnlich. Es geht dabei um die richtige Darstellung einer Planskizze anhand der pythagoräischen Formel. Die Ergebnisse werden gemeinsam öffentlich korrigiert. In der Folge erteilt die Lehrperson einen neuen Auftrag. Die Lernenden bearbeiten eine Aufgabe mit fünf Teilaufgaben, bei denen je die Länge einer Seite des Dreiecks berechnet wird. Diese Aufgaben sind den bereits gelösten ähnlich und bauen auf Bekanntem auf. Gemeinsam werden die Ergebnisse korrigiert, dazwischen gibt die Lehrperson Hausaufgaben auf. Zum Abschluss der Stunde gibt die Lehrperson noch kurz bekannt, was die Klassse in der nächsten Stunde behandeln wird. (Projekt)    less

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Zu Beginn der dritten Lektion der Pythagorasreihe werden die Hausaufgaben gemeinsam kontrolliert. Danach erklärt die Lehrperson, dass die Klasse sich in dieser Stunde zu Beginn mit d...    more

Zu Beginn der dritten Lektion der Pythagorasreihe werden die Hausaufgaben gemeinsam kontrolliert. Danach erklärt die Lehrperson, dass die Klasse sich in dieser Stunde zu Beginn mit dem Flächenzerlegungsbeweis beschäftigen wird. Deren drei werden in der gesamten Lektion bearbeitet. Die ersten beiden Beweisideen entdecken die Schülerinnen handelnd in zwei aufeinanderfolgenden Schülerarbeitsphasen. Die von der Lehrperson korrigierten Arbeiten werden eingeklebt. Der dritte Beweis wird öffentlich bearbeitet, wobei ihn ein Schüler am Hellraumprojektor zu legen versucht. Das Vorgehen beim Zerlegungsbeweis wird anschliessend an der Wandtafel mit magnetischen Dreiecken und Vierecken von einem weiteren Schüler nachvollzogen und danach gemeinsam besprochen. (Projekt)    less