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Nach der Pause haben die Schülerinnen und Schüler noch etwas Zeit, um an den Übungsaufgaben weiter zu rechnen. Anschließend werden diese besprochen. Da es sich bei dem Satz immer noc...    more

Nach der Pause haben die Schülerinnen und Schüler noch etwas Zeit, um an den Übungsaufgaben weiter zu rechnen. Anschließend werden diese besprochen. Da es sich bei dem Satz immer noch um eine Behauptung handelt, soll er nun bewiesen werden. Als erstes wird die Pythagorasfigur, der das Hypotenusenquadrat abgeschnitten wurde mit drei rechtwinkligen Dreiecken zu einem Quadrat, dessen Seite aus der Summe der beiden Katheten besteht, ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler zeigen unter der Leitung der Lehrperson, dass es sich bei der neuen Figur wirklich um ein Quadrat handelt. Ebenso geht die Klasse mit der Pythagorasfigur vor, der die beiden Kathetenquadrate abgeschnitten wurden. Dann wird in der Klasse gezeigt, dass die beiden neuen Quadrate gleich groß sind, und also die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat ist. Anschließend formulieren die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe der Lehrperson einen Theorieeintrag, dazu kleben sie die Skizzen, die während der Entwicklung des Beweises entstanden sind. Vor dem Ende der Lektion gib die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt, dabei handelt es sich um einschrittige Seitenberechnungen im rechtwinkligen Dreieck. (Projekt)    less

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Nach einigen organisatorischen Äußerungen, zeigt die Lehrperson eine Projektorfolie, auf der die Pythagorasfigur um das Dreieck mit den Seitenverhältnissen drei, vier und fünf dargeste...    more

Nach einigen organisatorischen Äußerungen, zeigt die Lehrperson eine Projektorfolie, auf der die Pythagorasfigur um das Dreieck mit den Seitenverhältnissen drei, vier und fünf dargestellt ist. Die Quadrate wurden mit einem Raster in neun, sechzehn und fünfundzwanzig Quadrätchen unterteilt. An Hand dieser Darstellung wird der am Vortag gelernte Satz und den dazugehörigen Beweis für eine Schülerin, die am Vortag gefehlt hat, repetiert. Anschließend erzählt die Lehrperson aus dem Leben des Pythagoras und über den Bekanntheitsgrad des Satzes im alten Ägypten und in Babylonien. Dann werden die Hausaufgaben besprochen. Dabei handelte es sich um einschrittige Dreiecksberechnungen. Das bringt die Schülerinnen und Schüler auf die Umkehrung des Satzes, diese formulieren sie und schreiben sie in die Theorieblätter. Die Lehrperson hat an einer zwölf Meter langen Schnur im Abstand von einem Meter Markierungen angebracht. Mit der Erklärung, dass die ägyptischen Bauern mit diesem Gerät nach den Nilüberschwemmungen ihre Felder neu begrenzt haben, wird ein großes rechtwinkliges Dreieck gespannt und zur Kontrolle, ob es auch wirklich rechtwinklig ist, von der Klasse berechnet. Auch erzählt die Lehrperson, dass ihre Schwester Archäologin ist, und im Gelände Quadrate von zwanzig Metern Seitenlänge abstecken muss. Die Schülerinnen und Schüler berechnen, wie lange das Seil, dass sie benötigt, sein muss, um ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit einer Kathetenlänge von zwanzig Metern zu erhalten. Anschließend berechnen die Schülerinnen und Schüler selbständig einschrittige Übungsaufgaben, die vor der Pause noch in der Klasse besprochen werden. Die Lektion endet mit einigen organisatorischen Angaben. (Projekt)    less

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Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will wissen, ob jemand Pythagoras und dessen berühmten Satz kennt. Nachdem eine Schülerin diesen genannt hat, ...    more

Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will wissen, ob jemand Pythagoras und dessen berühmten Satz kennt. Nachdem eine Schülerin diesen genannt hat, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler in einem Klassengespräch die Grundprinzipien des Satzes. Sie hält die erarbeitete Theorie fortlaufend in einer grafischen Darstellung an der Wandtafel fest. Indem die Lehrperson die Quadrate über den Dreiecksseiten zeichnet, veranschaulicht sie auf geometrische Weise a2+b2=c2. Danach führt die Lehrperson wiederum in einem fragend-entwickelnden Klassengespräch einen algebraischen Beweis durch. Danach verteilt die Lehrperson ein Merkblatt, welches von den Schülerinnen und Schülern noch fertig bearbeitet werden muss. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen dabei das neu Gelernte auf ihr Blatt. Im Anschluss an die Einzelarbeit erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Lernenden die allgemeine Formulierung des Satzes. Danach wird gemeinsam die Lösungsprozedur dreier verschiedener Aufgaben, welche in dieser Form noch nicht bearbeitet wurden, gelöst. Es handelt sich um zwei Konstruktionsaufgaben, in denen ein Quadrat mit einem bestimmten Flächeninhalt konstruiert werden soll und um eine Berechnungsaufgabe, wo es um die Berechnung einer Seite im rechtwinkligen Dreieck geht. Fünf Minuten vor Schluss haben die Lernenden noch Gelegenheit, selber einen weiteren Beweis, einen Zerlegungsbeweis, handelnd zu entdecken. (Projekt)     less

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Zu Beginn der dritten Lektion tragen die Lernenden, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens, das neu erworbene mathematische Wissen vom Vortag nochmals zusammen. Danach erkundigt...    more

Zu Beginn der dritten Lektion tragen die Lernenden, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens, das neu erworbene mathematische Wissen vom Vortag nochmals zusammen. Danach erkundigt sich die Lehrperson, ob alle Schülerinnen und Schüler das Puzzle für den Zerlegungsbeweis zu Hause fertig einkleben konnten und erläutert diesen nochmals ganz kurz. Darauf gibt sie das Thema der Stunde bekannt. Sie möchte mit etwas Theoretischem einsteigen und dann an den Aufgaben auf dem Übungsblatt weiterarbeiten. Mit der Frage „Wie lautet die Umkehrung des Satzes von Pythagoras?“ , startet die Lehrperson in den Theorieteil. In einem fragend-entwickelnden Lehr-Lerngespräch entwickelt sie zusammen mit den Lernenden den Beweis der Umkehrung, wenn a2+b2=c2, dann muss Gamma neunzig Grad sein. Die Lehrperson notiert und zeichnet fortlaufend die neu erworbenen Kenntnisse an die Wandtafel. Nach der Beweisführung verteilt die Lehrperson ein Theorieblatt. Während die Lehrperson die Blätter verteilt, nehmen die Schülerinnen und Schüler ihre Übungsblätter mit den Hausaufgaben hervor, die nun im Klassenverband besprochen werden. Für die Konstruktionsaufgabe werden zwei unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt. Bei der Aufgabe mit dem Rhombus verweist die Lehrperson nochmals ausdrücklich, dass sich die Schülerinnen und Schüler jeweils gut überlegen sollen, wo sich im Dreieck die längste Seite befindet, beziehungsweise, wo der rechte Winkel liegt, dass die Bezeichnung der Seite nicht wesentlich ist und ändern kann. Bevor die letzte Aufgabe der Hausaufgaben besprochen wird, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler die Prozedur dreier anspruchsvoller Aufgaben ohne Zahlen. Es handelt sich dabei um die Berechnung der Diagonale im Quadrat, der Höhe im gleichseitigen Dreieck und der Diagonale im Würfel. Nachdem die Schülerinnen und Schüler noch die Resultate der letzten Hausaufgabe gelesen und verglichen haben, verweist die Lehrperson auf die Bemerkung am Schluss der Aufgabenstellung: Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck und können die Seitenlängen durch ganze Zahlen ausgedrückt werden, handelt es sich um Pythagoräische Zahlentripel. Die Lehrperson stellt anhand einer Aufgabe den Diophantischen Algorithmus vor. Dabei handelt es sich um eine Methode, wie man Pythagoräische Zahlentripel finden kann. Gemeinsam machen sie zwei Durchläufe. Daraufhin sollte jeder Lernende selbständig drei weitere Tripel, im Sinne einer Übung, finden. Die Lehrperson beschließt die Stunde, indem sie den Schülerinnen und Schüler die drei Durchläufe als Aufgaben mit nach Hause gibt. (Projekt)    less

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Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Danach diktiert die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Aufgabenkatalog, den diese in ihr Theorieheft schreibe...    more

Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Danach diktiert die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Aufgabenkatalog, den diese in ihr Theorieheft schreiben und die aufgeschriebenen Aufträge dann auch ausführen: Sie sollen sechs Quadrate, die die Seitenlängen von zwei pythagoräischen Zahlentripeln aufweisen, ausschneiden, die zusammengehörenden zu Pythagorasfiguren zusammenlegen und ihre Beobachtungen dazu schriftlich festhalten. Während die Schülerinnen und Schüler die Aufträge zur Exploration des Satzes von Pythagoras der Reihe nach ausführen, erklärt die Lehrperson, was mit „zu einem Dreieck zusammenlegen“ gemeint ist, eben die Pythagorasfigur legen. Schließlich geht die Lehrperson den Aufgabenkatalog Punkt für Punkt durch, die Schüler geben ihre Beobachtungen an die Klasse weiter. Da der Satz des Pythagoras bei einigen Schülern schon bekannt ist, kommt dieser als Beobachtung bald zur Sprache. An dieser Stelle erklärt die Lehrperson, was der Satz des Pythagoras ist. Danach wird ein weiterer Punkt aus dem Katalog besprochen, was die Lehrperson dazu verleitet, der Klasse etwas über den Mathematiker und Philosophen Pythagoras aus dem Lexikon vorzulesen. Schließlich wird der letzte Punkt besprochen: Weitere Dreiecke suchen, von denen die Summe zweier Seitenquadrate das Quadrat der dritten ergibt. Danach sollen die Schüler selbständig einen Eintrag in ihr Theorieheft machen. Bevor der Film zu Ende ist, beginnt die Lehrperson den Beweis an Hand des Kathetensatzes vorzuzeigen. (Projekt)    less

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Als erstes fordert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler auf, mit Hilfe einer Schnur, einem Filzstift und einem Maßstab einen rechten Winkel „herzustellen“. Keinem der Schüler...    more

Als erstes fordert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler auf, mit Hilfe einer Schnur, einem Filzstift und einem Maßstab einen rechten Winkel „herzustellen“. Keinem der Schülerinnen und Schüler will das so recht gelingen. Die Lehrperson verweist auf das aktuelle Geometrie-Thema und zeigt den Anwesenden vor, wie mit zwölf gleichen Abschnitten ein rechtwinkliges Dreieck gelegt werden kann. Nun schreiben die Schülerinnen und Schüler den Theoriehefteintrag zum Beweis der vorigen Stunde in ihr Theorieheft ab. Wer fertig ist, löst einige einschrittige Aufgaben zur Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck. Im Plenum wird eine mehrschrittige Aufgabe gelöst, mit der die Lehrperson darauf hinweisen will, dass die Dreiecke, die bei diesen Aufgaben vorkommen, nicht immer rechtwinklig sind, und dass die rechtwinkligen Dreiecke zuerst gesucht werden müssen. Anschließend werden die Resultate der Zusatzaufgaben kontrolliert. Danach lösen die Schülerinnen und Schüler weitere komplexe und mehrschrittige Aufgaben in Stillarbeit. (Projekt)    less

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Nach der Pause arbeiten die Schülerinnen und Schüler an dem Hefteintrag weiter. Wie sie fertig sind, teilt die Lehrperson ein Blatt aus, auf dem der Beweis, der vorige Stunde gefüh...    more

Nach der Pause arbeiten die Schülerinnen und Schüler an dem Hefteintrag weiter. Wie sie fertig sind, teilt die Lehrperson ein Blatt aus, auf dem der Beweis, der vorige Stunde geführt wurde, noch einmal dargestellt ist. Anhand dieses Blattes repetiert die Lehrperson den Beweis noch einmal kurz. Anschließend ruft sich die Klasse die Umkehrformeln des Satzes wieder ins Gedächtnis, um mit ihnen einige einschrittige und einfache mehrschrittige Übungsaufgaben aus dem Buch zu lösen. Die erste der Übungen löst die Klasse im Plenum, die weiteren lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig. Dann werden die Aufgaben korrigiert. Die Lehrperson verweist auf die ganzzahligen Beispiele, die in der Tabelle der letzten Lektion entstanden sind. Mit einer Schnur, die in drei Abschnitte mit den Längen dreißig, vierzig und fünfzig Zentimeter unterteilt wurde, legt eine Schülerin an der Wandtafel ein Dreieck, das, wie erwartet, rechtwinklig ist. Kurz verweist die Lehrperson darauf, dass mit dieser Methode im Gelände ein rechter Winkel abgesteckt werden könnte. Dann rechnen die Schülerinnen und Schüler an den Aufgaben weiter. Während dieser Stillarbeitsphase veranlasst die Lehrperson die Schüler die Resultate einiger Aufgaben zum Vergleich bekannt zu geben. Die Lehrperson unterbricht die Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit, um mit ihnen gemeinsam die Formel zur Berechnung der Quadratdiagonalen zu entwickeln. Die Entwicklung wird von einem konkreten Zahlenbeispiel begleitet. Die Lektion wird mit einigen organisatorischen Informationen abgeschlossen. (Projekt)    less

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Nachdem die Lehrperson das Thema und den Ablauf der nächsten zwei Lektionen bekannt gegeben hat, zeigt sie, was bei den Hausaufgaben hätte herauskommen müssen: a2 + b2= c2. Die Schüler...    more

Nachdem die Lehrperson das Thema und den Ablauf der nächsten zwei Lektionen bekannt gegeben hat, zeigt sie, was bei den Hausaufgaben hätte herauskommen müssen: a2 + b2= c2. Die Schülerinnen und Schüler überprüfen, ob das auch für ihre Quadrate zutrifft. Bei allen sind die Flächen der beiden kleineren Quadrate zusammen etwa so groß, wie die Fläche des großen. Die Lehrperson hat die ausgeschnittenen Quadrate wieder mitgebracht und zeigt den Schülern einen ersten improvisierten Beweis, das diese Beobachtung stimmt. Sie wägt alle drei Haufen mit einer Briefwaage und tatsächlich sind die beiden Haufen mit den kleineren Quadraten fast gleich schwer, wie der Haufen mit den grossen Quadraten. Anschließend trägt die Lehrperson an der Moltonwand den Zerlegungsbeweis vor. Die Lehrperson stellt die Frage, wozu denn nun die Erkenntnis, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate über den beiden kürzeren Seiten die gleiche Fläche haben, wie das Quadrat über der längsten Seite, gebraucht werden könne und leitet so zum Übungsteil der Unterrichtsreihe über. Eine erste einschrittige Übungsaufgabe wird in der Klasse berechnet. Danach gibt die Lehrperson eine Vorgehensweise vor, wie solche Aufgaben zu lösen sind. Eine weitere einschrittige Übungsaufgabe lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig, anschließend wird der Lösungsweg in der Klasse besprochen. Nun teilt die Lehrperson ein Arbeitsblatt aus, auf dem die Schülerinnen und Schüler gesuchte Seiten in verschiedenen geometrischen Figuren berechnen müssen. Bis zur Pause arbeiten die Schüler und Schülerinnen an diesen Aufgaben. (Projekt)     less

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Nach einigen organisatorischen Angaben beginnen die Schülerinnen und Schüler mit einer Aufgabe, anhand der sie den Satz des Pythagoras selbständig entdecken sollen: Über der Seite ein...    more

Nach einigen organisatorischen Angaben beginnen die Schülerinnen und Schüler mit einer Aufgabe, anhand der sie den Satz des Pythagoras selbständig entdecken sollen: Über der Seite eines Quadrates wurde ein gleichseitiges Dreieck gezeichnet. Die Schülerinnen und Schüler sollen nun selbständig untersuchen, was mit den Quadraten, die sich über den anderen Dreiecksseiten errichten lassen, geschieht, wenn die Spitze des Dreiecks entlang der Mittlesenkrechten zur Grundlinie wandert. Es wird festgestellt, dass die Quadratflächen über den Schenkeln in der Ausgangssituation zusammen doppelt so groß sind, wenn sich die Spitze auf der Grundlinie befindet und halb so groß sind wie das Quadrat über der Grundlinie. Auf Grund dieser Erkenntnis versuchen die Schülerinnen und Schüler als nächstes selbständig herauszufinden wie das Dreieck aussehen muss, wenn die Quadratflächen über den Schenkeln zusammen genau gleich groß sind, wie die Fläche des Quadrates über der Grundlinie. Das Ergebnis, dass es sich in diesem speziellen Fall um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss, erreichen die Schülerinnen und Schüler auf unterschiedliche Weise. Ein Schüler und eine Schülerin stellen ihre Methoden vor: Der Schüler hat beim ersten Auftrag die Spitze regelmäßig um fünf Millimeter gesenkt. So konnte er nun feststellen, zwischen welchen beiden seiner Konstruktionen der gesuchte Spezialfall zu finden sei. Ihm ist aufgefallen, dass es sich bei den beiden Dreiecken um ein stumpfwinkliges und ein spitzwinkliges Dreieck handelt. So nahm er an, dass der Spezialfall das rechtwinklige Dreieck ist. Die Schülerin stellt eine Methode vor, die die meisten Schülerinnen und Schüler zur Lösung dieser Aufgabe entdeckt haben. Sie berechnet an Hand der Fläche des Basisquadrates die Seitenlänge des gesuchten Dreiecks und kann so das gesuchte Dreieck konstruieren. Auch dieses scheint natürlich rechtwinklig zu sein. (Projekt)    less

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Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Ein Arbeitsplan, auf dem der ungefähre Inhalt der nächsten zwei Lektionen beschrieben ist, wird verteilt. Gemäß dieses Arbeitsp...    more

Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Ein Arbeitsplan, auf dem der ungefähre Inhalt der nächsten zwei Lektionen beschrieben ist, wird verteilt. Gemäß dieses Arbeitsplans repetieren die Schülerinnen und Schüler die Aussage des Satzes von Pythagoras. Dazu skizziert die Lehrperson die Pythagorasfigur an die Wandtafel. Zusammen mit dem Satz übernehmen sie die Schülerinnen und Schüler auf ein Theorieblatt. An Hand der skizzierten Pythagorasfigur kommt die Lehrperson auf das pythagoräische Zahlentripel zu sprechen. Wie auf dem Arbeitsplan vorgegeben beginnt die Klasse nun mit Übungsaufgaben. Zuerst werden zwei einschrittige Aufgaben im Plenum gelöst, weitere zwei Aufgaben lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig. Einzelne Schüler lösen die Aufgaben an der Wandtafel. An Hand dieser Ausführungen werden die selbständig gelösten Aufgaben besprochen. Danach führt die Lehrperson mit einer weiteren Übungsaufgabe die Umkehrungen des Satzes von Pythagoras ein, anschließend werden bis zum Ende der Lektion weitere einschrittige Übungsaufgaben gelöst. (Projekt)    less