Unterrichtsbeobachtung (Daten): Pythagorasmodul

• Satzgruppe des Pythagoras (A01-P-1101-Lek1)
  

  Die Lehrperson ist gerade dabei eine Aufgabe zu erklären, als der Film einsetzt: Bei einem Triathlon muss eine bestimmte Strecke geschwommen werden. Während sie erklärt, zeichnet die Leh...    mehr

  Die Lehrperson ist gerade dabei eine Aufgabe zu erklären, als der Film einsetzt: Bei einem Triathlon muss eine bestimmte Strecke geschwommen werden. Während sie erklärt, zeichnet die Lehrperson einen Plan der Schwimmstrecke an die Wandtafel. In einer Meeresbucht muss vom Strand zu einer Boje, dann parallel zum Stand zu einer anderen Boje und wieder zurück zum Strand geschwommen werden. Ein Schüler zeichnet an der Wandtafel die zu schwimmen ideale Strecke ein. Da alle 1400 Schwimmer gleichzeitig starten, ist die Schwimmstrecke vom Strand zur ersten Boje für den zu äußerst startenden Schwimmer bedeutend weiter, als die ideale Strecke. Ein anderer Schüler zeichnet an der Wandtafel den Weg dieses Schwimmers ein. Dabei wird festgestellt, dass die erste, ideale Strecke rechtwinklig zum Strand steht. Nach einer ersten Schätzung fragt die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler, ob sie einen Lösungsvorschlag hätten, die genaue Differenz der idealen und der äußersten Schwimmstrecke zu berechnen. Aus den Schüleraussagen kann sie dann entnehmen, dass irgendwo im Schulhaus der Satz des Pythagoras dargestellt wird, und dass die Schülerinnen und Schüler sich diese Darstellungen schon angesehen, wenn auch nicht vollständig verstanden haben. Die Lehrperson lässt die noch etwas unklaren Äusserungen der Schülerinnen und Schüler stehen und benennt zuerst mit Hilfe der Klasse Katheten und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck an der Wandtafel. An Hand dieser Bezeichnungen und Beschriftung gelingt es nun einem Schüler für das Dreieck an der Wandtafel den Satz des Pythagoras richtig zu formulieren. Am Hellraumprojektor ist der Satz und eine ausgedeutschte Fassung davon zu sehen. Die Schülerinnen und Schüler lesen die beiden Varianten und erklären kurz in eigenen Worten, wie sie das verstehen. Auf die Frage, was der Satz denn nun bringt, fallen die Antworten „Hausbau“ und „Berechnung einer Entfernung“. Mündlich wird besprochen, wie bei einer solchen Berechnung vorgegangen werden müsste und wie die Umformungen des Satzes funktionieren. Während der Einkreisung des Satzes von Pythagoras, die Beschriftung und Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck und schliesslich der Satz selber, wurden an der Wandtafel immer wieder Notizen zur Veranschaulichung des Gesagten gemacht. Diese Darstellungen übernehmen die Schülerinnen und Schüler nun in ihr Heft. Anschliessend berechnen die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe der Lehrperson gemeinsam die Differenz zwischen der idealen und der äußersten Schwimmstrecke der Triathlonaufstellung und übernehmen dann Skizze und Berechnungen von der Wandtafel in ihr Heft. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A01-P-1101-Lek2)
  

  Zu Beginn der anschließenden Lektion arbeiten die Schülerinnen und Schüler am Hefteintrag weiter. Danach wird ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Projektorfolie noch einmal richtig...    mehr

  Zu Beginn der anschließenden Lektion arbeiten die Schülerinnen und Schüler am Hefteintrag weiter. Danach wird ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Projektorfolie noch einmal richtig beschriftet, Hypotenuse und Katheten werden festgelegt. Da dieses Dreieck anders beschriftet ist, als das Dreieck der letzten Stunde, formuliert ein Schüler den Satz des Pythagoras für dieses Dreieck. Danach gibt die Lehrperson eine Strategie bekannt, wie zur korrekten Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Satz des Pytagoras vorgegangen werden muss: Es muss immer zuerst die Hypotenuse bestimmt werden. Nach einem kurzen Unterbruch, folgt eine Übungssequenz in welcher die Schülerinnen und Schüler selbständig den Satz des Pythagoras für gegebene rechtwinklige Dreiecke formulieren und von weiteren die fehlende Seite berechnen. Anschließend werden die Resultate kontrolliert und die Lösungswege dazu bekanntgegeben. Wie alle Aufgaben korrigiert sind, hält die Lehrperson einen geschichtlichen Vortrag über das Leben und Wirken des Pythagoras. Vor dem Ende der Lektion werden die Hausaufgaben bekannt gegeben. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A01-P-1101-Lek3)
  

  Zu Beginn der Lektion werden zuerst die Hausaufgaben kontrolliert, dabei erklären die Schülerinnen und Schüler, wie sie dabei vorgegangen sind. Es handelt sich dabei um einfache Seit...    mehr

  Zu Beginn der Lektion werden zuerst die Hausaufgaben kontrolliert, dabei erklären die Schülerinnen und Schüler, wie sie dabei vorgegangen sind. Es handelt sich dabei um einfache Seitenberechnungen im rechtwinkligen Dreieck. Im Plenum führen die Schülerinnen und Schüler, angeführt von der Lehrperson den Ergänzungsbeweis und übernehmen die dazugehörenden Ausführungen in ihr Heft. Anschliessend teilt die Lehrperson aus 80 Karten an Zweierschülergruppen je eine Karte aus, auf der mehrschrittige Pythagorasaufgaben von verschiedenem Schwierigkeitsgrad zu finden sind. Die Schülerinnen und Schüler beginnen mit den einfachsten Aufgaben. Ist eine Aufgabe fertig berechnet, kann die Karte gegen eine andere ausgetauscht werden. Da sich die Lösung der Aufgabe immer hinten auf der Karte befindet, lösen und kontrollieren die Schülerinnen und Schüler von diesen Aufgaben selbständig bis zum Lektionsende. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A02-P-1103-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben, dabei gibt die Lehrperson auch bekannt, dass in dieser und den folgenden Lektionen ein wichtiger Satz der Geometrie geler...    mehr

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben, dabei gibt die Lehrperson auch bekannt, dass in dieser und den folgenden Lektionen ein wichtiger Satz der Geometrie gelernt werden soll. Dann repetiert die Klasse als erstes, wie ein - in diesem Fall rechtwinkliges - Dreieck beschriftet wird. Die entsprechenden Ausführungen hält die Lehrperson an der Wandtafel fest. An Hand dieses rechtwinkligen Dreiecks werden dann die Begriffe Kathete und Hypotenuse eingeführt. Danach lässt die Lehrperson zwei Schüler ein Werbeplakat aufhängen, auf dem über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenverhältnissen drei, vier und fünf Quadrate aus Rittersportschokolade geklebt wurden. Daran dass die Schülerinnen und Schüler sehen, dass neun plus sechzehn gleich fünfundzwanzig ist, stellt die Lehrperson die Behauptung auf, dass im rechtwinkligen Dreieck immer die Summe der Flächen der Kathetequadrate der Fläche des Hypotenusenquadrates entspricht. Dazu zeichnet die Lehrperson die Pythagorasfigur an die Wandtafel. Anschließend haben die Schülerinnen und Schüler Zeit, das rechtwinklige Dreieck mit den korrekten Beschriftungen, die Pythagorasfigur und den Satz des Pythagoras von der Wandtafel in ihr Theorieheft zu übernehmen. Als einige der Schülerinnen und Schüler mit dem Abschreiben fertig sind, fordert sie die Lehrperson auf, eine sprachliche Formulierung für den ins Heft geschriebenen Satz "a2+b2=c2" zu finden. Aus den Beiträgen der Schülerinnen und Schüler formuliert die Lehrperson einen vollständigen Merksatz und schreibt diesen an die Wandtafel. Die Schülerinnen und Schüler schreiben ihn ab. Abschliessend erklärt die Lehrperson, dass aber - in einer weiteren Stunde - noch bewiesen werden müsse, ob dieser Satz auch stimme. Nun lösen die Schülerinnen und Schüler einschrittige Hypotenusenberechnungen aus dem Buch und tragen die Resultate in eine vom Buch vorgegebene Tabelle ein: Die erste Aufgabe lösen sie in der Klasse mit der Lehrperson zusammen, drei weitere lösen sie selbständig, nachdem die Resultate der ersten Aufgabe verglichen wurden. Bevor die Lektion zu Ende ist werden die drei weiteren Aufgaben noch kurz im Klassenverband besprochen und die Resultate verglichen. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A02-P-1103-Lek2)
  

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson bekannt, dass heute der Satz, der am Vortag eingeführt wurde, bewiesen werden soll. In einem Lehr-Lerngespräch führt die Lehrperson den alge...    mehr

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson bekannt, dass heute der Satz, der am Vortag eingeführt wurde, bewiesen werden soll. In einem Lehr-Lerngespräch führt die Lehrperson den algebraischen Beweis. Diesen übernehmen die Schülerinnen und Schüler von der Wandtafel in ihr Theorieheft. Wie die Schülerinnen und Schüler mit dem Abschreiben fertig sind, kommt die Lehrperson auf pythagoräische Zahlentrippel zu sprechen. Sie nennt die Zahlentrippel drei, vier, fünf und sechs, acht, zehn als Beispiel. Die Schülerinnen und Schüler nennen weitere Beispiele und suchen anschließend mit Hilfe des Taschenrechners selbständig weitere Beispiele. Nach einigen Minuten sammelt die Lehrperson die weiteren Beispiele an der Wandtafel. Anschließend löst die Klasse Übungsaufgaben. Als erstes wird im Plenum gezeigt, wie vorgegangen werden muss, wenn eine Quadratfläche, die den Summen von zwei gegebenen Quadratflächen entsprechen soll, gesucht ist. Die Schülerinnen und Schüler lösen anschließend zwei ähnliche Aufgaben selbständig. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A02-P-1103-Lek3)
  

  Die Lektion beginnt mit einer kurzen organisatorischen Angabe. Danach wird der Satz des Pythagoras repetiert und zur Belustigung mit dem Satz auf dem Rittersportplakat verglichen. ...    mehr

  Die Lektion beginnt mit einer kurzen organisatorischen Angabe. Danach wird der Satz des Pythagoras repetiert und zur Belustigung mit dem Satz auf dem Rittersportplakat verglichen. Anschließend entwickelt die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler die Umkehrungen des Satzes. Dazu wird im Klassenverband eine einschrittige Übungsaufgabe gelöst. Weitere acht Aufgaben dieses Typs lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig. Nachdem diese Aufgaben und die verschiedenen, taschenrechnerbedingten Eingabearten in der Klasse besprochen wurden, berechnen die Schülerinnen und Schüler weitere sieben Dreiecksseiten. Abschließend werden die Ergebnisse kontrolliert. Dann werden im Plenum drei komplexe, teilweise mehrschrittige Textaufgaben, die als Hausaufgabe fertig zu machen sind, detailiert vorbesprochen. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A03-P-1104-Lek1)
  

  Zu Beginn der ersten Lektion der Pythagorasreihe klärt die Lehrperson organisatorische Belange bezüglich der Lektion. Darauf werden die Bezeichnungen des Dreiecks anhand eines fragen...    mehr

  Zu Beginn der ersten Lektion der Pythagorasreihe klärt die Lehrperson organisatorische Belange bezüglich der Lektion. Darauf werden die Bezeichnungen des Dreiecks anhand eines fragendentwickelnden Lehrgesprächs wiederholt. In einem darstellenden Lehrgespräch erläutert die Lehrperson nun die Bezeichnung Hypotenuse und Kathete. Danach zeichnen die Schülerinnen und Schüler ein rechtwinkliges Dreieck in ihr Heft und beschriften dieses gemäß dem eben Besprochenen, das auch an der Wandtafel steht. Nun erteilt die Lehrperson einen neuen Auftrag, bei dem die Lernenden ein Dreieck mit vorgegebenen Maßen konstruieren und beschriften (drei verschiedene Maße). Die Lehrperson zeigt die Konstruktion der Flächenquadrate über der Hypotenuse und den Katheten auf, worauf die Schülerinnen und Schüler diese in einer Stillarbeitsphase konstruieren. Diese quadratische Darstellung mit Quadratflächen über den Seiten gilt im Weiteren als Grundlage, um den Satz des Pythagoras problemorientiert zu entwickeln. In der nächsten Phase mit selbständiger Schülerarbeit berechnen die Schülerinnen und Schüler die Quadratflächen der Seiten ihrer Dreiecke und erhalten zusätzlich den Auftrag, diese zu vergleichen und zu schauen, ob ihnen etwas auffällt. Im folgenden gemeinsamen Lehr- und Lerngespräch wird der Satz des Pythagoras von einer Schülerin als Formel genannt und der Lehrer bestätigt diese mit der ausformulierten Version des Satzes von Pythagoras. Zum Schluss der Lektion beginnt die Lehrperson mit der Erarbeitung eines Ergänzungsbeweises. Dabei wird der Ergänzungsbeweis mit einem Lehr- und Lerngespräch auf geometrische und mathematische Weise erarbeitet. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A03-P-1104-Lek2)
  

  Nach der Pause wird der Ergänzungsbeweis zu Ende geführt. Danach macht die Lehrperson einen kurzen geschichtlichen Rückblick zur Person des Pythagoras und lässt danach die Schülerinnen...    mehr

  Nach der Pause wird der Ergänzungsbeweis zu Ende geführt. Danach macht die Lehrperson einen kurzen geschichtlichen Rückblick zur Person des Pythagoras und lässt danach die Schülerinnen und Schüler die Ausformulierung des Satzes von Pythagoras vom Buch ins Theorieheft übernehmen. Nun erarbeitet die Lehrperson mit der Klasse die Prozedur einer Aufgabe, bei der die richtige Bestimmung von Hypotenuse und Katheten in einer Planskizze eine relevante Bedeutung hat. Anschließend lösen die Schülerinnen und Schüler eine Übungsaufgabe zur Seitenberechnung in rechtwinkligen Dreiecken. Dabei schreibt die Lehrperson den Lösungsweg an die Wandtafel. Für die zwei folgenden Aufgaben wird von jeweils einer Schülerin der Lösungsweg an die Wandtafel geschrieben, währenddem die anderen selbständig an ihren Plätzen arbeiten. Die Schülerinnen und Schüler haben genügend Zeit ihre Ergebnisse mit denjenigen an der Wandtafel zu vergleichen. Lösungswege werden nicht besprochen. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A03-P-1104-Lek3)
  

  Zu Beginn der dritten Lektion formulieren mehrere Schülerinnen und Schüler den Satz des Pythagoras auswändig, gemäss dem Theorieeintrag vom Vortag, im Sinne einer Aktivierung des Vorwi...    mehr

  Zu Beginn der dritten Lektion formulieren mehrere Schülerinnen und Schüler den Satz des Pythagoras auswändig, gemäss dem Theorieeintrag vom Vortag, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens. Danach werden die Hausaufgaben kontrolliert. Bei einer Aufgabe werden die Lösungsschritte aufgezeigt. Im Weiteren wird gemeinsam eine Aufgabe zur Berechnung einer Kathetenlänge gelöst, die den Aufgaben des Vortages ähnlich ist. Darauf kommt die Lehrperson kurz auf die pythagoräischen Zahlentrippel zu sprechen. Anschließend lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig eine weitere Aufgabe zur Seitenberechnung in rechtwinkligen Dreiecken. Eine Schülerin schreibt den Lösungsweg an die Wandtafel. Die Aufgabe wird gemeinsam besprochen. Danach lösen die Lernenden fünf weitere Aufgaben, die der vorgezeigten zum größten Teil ähnlich, zum Teil auch anspruchsvoller sind. Bei den anspruchsvolleren Aufgaben geht es zusätzlich um die richtige Zuteilung des rechten Winkels im Dreieck und um die Berechnung der Basishöhe in einem gleichschenkligen Dreieck. Die Ergebnisse werden gemeinsam kontrolliert. Darauf erteilt die Lehrperson den Arbeitsauftrag für vier verschiedene Aufgaben, wobei die Lehrperson bei einer Aufgabe auf zentrale Lösungsschritte verweist. Die Aufgaben werden von den Lernenden in einer der folgenden, nicht-gefilmten Lektionen selbständig gelöst. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A04-P-1106-Lek1)
  

  Zu Beginn dieser Lektionsreihe informiert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler über das Filmteam. Darauf zeigt die Lehrperson auf einer Folie am Hellraumprojektor zwei blaue...    mehr

  Zu Beginn dieser Lektionsreihe informiert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler über das Filmteam. Darauf zeigt die Lehrperson auf einer Folie am Hellraumprojektor zwei blaue Quadrate (entsprechen a2, b2) und ein grünes (entspricht c2) Quadrat. Der Auftrag dazu lautet: Vergleiche die grünen und die zwei blauen Flächen (=Grundlage für Ergänzungsbeweis). Das wird zuerst gemeinsam in der Klasse besprochen. Dabei äußern die Schülerinnen und Schüler verschiedene Vermutungen, welche Figur größer ist. In der Folge leitet die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler an, diese Vermutungen zu überprüfen und zu begründen oder zu beweisen. Daraufhin schieben die Schülerinnen und Schüler ihre Tische zu Gruppentischen zusammen (jeweils vier bis fünf Schülerinnen und Schüler). Danach verteilt die Lehrperson Arbeitsblätter, auf denen dieselben Quadrate abgebildet sind. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten nun in ihren Gruppen selbständig entdeckend, wobei sie die Quadrate ausschneiden/ zerschneiden oder indem sie berechnen können. Die Lehrperson unterbricht diese Sequenz und nun sammelt die Klasse die Gruppenergebnisse. Diese werden jeweils von einer Gruppe vorgestellt und die Lehrperson schreibt die Ergebnisse an die Wandtafel. Die Klasse einigt sich mehr oder weniger darauf, dass die Flächen mit Einbezug von Messungenauigkeiten gleich groß sind. Danach stellt die Lehrperson den Beginn eines mathematischen Lösungsweges einer der fünf Gruppen vor. Dieser Lösungsweg entspricht dem Ergänzungsbeweis. Die Lehrperson leitet die Gruppen nun dazu an, die zwei Flächen c2+ vier Dreiecke und a2+ b2+ vier Dreiecke zu berechnen und zu vergleichen. In der Klasse wird aufgrund von Schwierigkeiten einzelner Schülerinnen und Schüler das Vorgehen schrittweise besprochen und von Schülerinnen und Schülern erklärt. Die Lösungen berechnen die Schülerinnen und Schüler in Vierer- oder Fünfergruppen. Die Gruppenarbeit wird durch eine Pause unterbrochen. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A04-P-1106-Lek2)
  

  Zu Beginn dieser Stunde arbeiten die Schülerinnen und Schüler weiter an der mathematischen Herleitung des Ergänzungsbeweises, womit die Klasse in der letzten Stunde bereits begonnen ...    mehr

  Zu Beginn dieser Stunde arbeiten die Schülerinnen und Schüler weiter an der mathematischen Herleitung des Ergänzungsbeweises, womit die Klasse in der letzten Stunde bereits begonnen hat. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten in Vierer- oder Fünfergruppen. Sie arbeiten selbständig explorierend. Gemeinsam in der Klasse wird anschließend die mathematische Herleitung des Ergänzungsbeweises nachvollzogen und zur Formel a2+ b2= c2 aufgelöst. (Berechnung der jeweiligen Flächen von a2, b2, vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken/ die Flächen von c2, vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken. Gleichsetzung der beiden grossen Quadrate und die Auflösung davon). Somit ist bewiesen, dass a2+ b2= c2 ist. Danach zeigt die Lehrperson auf dem Hellraumprojektor eine Darstellung und benennt diese als Darstellung des Satzes von Pythagoras. Ein Schüler nennt dazu die Formel a2+ b2= c2. Danach übernehmen die Schülerinnen und Schüler die grafische Darstellung, die Ausformulierung sowie Formel und Titel des Satzes von Pythagoras in ihr Theorieheft. Die Lehrperson bricht die Einzelarbeit am Ende der Stunde ab. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A04-P-1106-Lek3)
  

  Der Filmbeginn stimmt nicht überein mit dem Beginn der Lektion. Die Schülerinnen und Schüler sitzen an ihren Pulten und die Folie des Vortages liegt auf dem Hellraumprojektor. Die ...    mehr

  Der Filmbeginn stimmt nicht überein mit dem Beginn der Lektion. Die Schülerinnen und Schüler sitzen an ihren Pulten und die Folie des Vortages liegt auf dem Hellraumprojektor. Die Schülerinnen und Schüler beenden ihren Theoriehefteintrag. Währenddem schreibt die Lehrperson die Anleitung für eine Aufgabe an die Wandtafel. Nachdem die Schülerinnen und Schüler ihren Theoriehefteintrag beendet haben, lösen sie die Aufgabe in Einzelarbeit. Die Aufgabe ist anspruchsvoll. Es geht dabei um die Lage des rechten Winkels und die Berechnung der Hypotenuse. Danach schreibt ein Schüler den Lösungsweg an die Wandtafel und Lösungsweg sowie Lösung werden von der Klasse besprochen. Darauf gibt die Lehrperson eine weitere Aufgabe auf, die Maße schreibt die Lehrperson an die Wandtafel. Bei dieser Aufgabe geht es um die Berechnung einer Kathete. Auch diese Aufgabe ist anspruchsvoll und wird von den Schülerinnen und Schülern in Einzelarbeit gelöst. Zum Schluss der Lektion gibt die Lehrperson diese Aufgabe als Hausaufgabe auf. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A05-P-1107-Lek1)
  

  Nach einigen organisatorischen Äußerungen gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt: der Satz von Pythagoras. Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Blatt, auf dem vier identisch...    mehr

  Nach einigen organisatorischen Äußerungen gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt: der Satz von Pythagoras. Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Blatt, auf dem vier identische Rechtecke mit den Seiten a und b zu einem Quadrat zusammengefügt wurden, so dass in der Mitte ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge (a-b) entsteht. Als erstes schreiben die Schülerinnen und Schüler alle Teilseiten des großen Quadrates mit a und b an. Dann wird in der Klasse die Fläche des Quadrates durch a und b ausgedrückt und an der Wandtafel aufgeschrieben. Anschließend zeichnen die Schülerinnen und Schüler die Diagonalen der Rechtecke, die sie c nennen, ein, so dass diese ein neues Quadrat bilden. In der Klasse wir vor allem durch die Lehrperson gezeigt, dass es sich dabei auch tatsächlich um ein Quadrat handelt. Von dieser neuen Figur (ein Quadrat, bestehend aus vier rechtwinkligen Dreiecken und einem kleineren Quadrat) wird die gesamte Fläche durch die Teilflächen ausgedrückt und mit der ersten Gleichung gleichgesetzt. An der Wandtafel wird die Gleichung nun auf den Satz des Pythagoras vereinfacht. Die ganze Herleitung wird von den Schülerinnen und Schülern auf das Blatt abgeschrieben. Anschließend wendet sich die Klasse der Verwendung des Satzes von Pythagoras zu. Mit Hilfe der Lehrperson wird die Formel zur Berechnung der Quadratdiagonalen hergeleitet. Danach werden ganzzahlige pythagoräische Zahlentrippel gesucht und benannt. Die griechischen Bezeichnungen für die Seiten im rechtwinkligen Dreieck werden repetiert und auf die pythagoräischen Zahlentrippel angewendet. (Projekt)     weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A05-P-1107-Lek2)
  

  Nach einigen organisatorischen Äusserungen, leitet die Lehrperson auf algebraische Weise aus dem Satz des Pythagoras den Höhensatz des Euklid ab. Die Schülerinnen und Schüler erhalt...    mehr

  Nach einigen organisatorischen Äusserungen, leitet die Lehrperson auf algebraische Weise aus dem Satz des Pythagoras den Höhensatz des Euklid ab. Die Schülerinnen und Schüler erhalten ein Blatt, auf dem ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet ist. Auf die durch Einzeichnen der Höhe des rechtwinkligen Dreiecks entstandenen Teildreiecke wird der Satz des Pythagoras angewendet. Die zwei entstandenen Gleichungen werden addiert, die Seite a2+b2 durch c2, anschließend c durch p+q ersetzt. Die entstandene Gleichung wird von den Schülerinnen und Schülern selbständig auf den Höhensatz des Euklid vereinfacht. Da dies einigen Schülerinnen und Schülern Mühe bereitet, erklärt die Lehrperson noch einmal die einzelnen Schritte, die bis zu der zu vereinfachenden Gleichung gemacht wurden. Die Lehrperson schreibt den Lösungsweg an die Wandtafel. Anschließend erzählt sie den Schülerinnen und Schülern, wie im Altertum mit dieser Formel rechteckige Flächen verglichen werden konnten. So lernen die Schülerinnen und Schüler die Unterscheidung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel mit Hilfe eines Zahlenbeispiels. Die Herleitung des Satzes von Euklid und das Beispiel zur Berechnung des geometrischen Mittels schreiben die Schülerinnen und Schüler auf das Blatt ab. Abschließend berechnen die Schülerinnen und Schüler das geometrische Mittel von zwanzig und fünf. Die Lektion enden mit einigen organisatorischen Angaben. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A05-P-1107-Lek3)
  

  Zu Beginn der Lektion treffen die Schülerinnen und Schüler einige Vorbereitungen, mit deren Hilfe sie anschließend die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen. Zuerst berechnen sie...    mehr

  Zu Beginn der Lektion treffen die Schülerinnen und Schüler einige Vorbereitungen, mit deren Hilfe sie anschließend die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen. Zuerst berechnen sie selbständig ein Zahlenbeispiel. Ein Schüler präsentiert den Lösungsweg an der Wandtafel. Daraus wird in der Klasse die allgemein gültige Formel abgeleitet. In der Klasse wird anschliessend ein weiteres Zahlenbeispiel berechnet sowie aus der Formel abgelesen, ob sich das Verhältnis zwischen Seite und Höhe linear verhält. Am Schluss der Lektion werden die Hausaufgaben korrigiert und besprochen. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A06-P-1109-Lek1)
  

  Zu Beginn der ersten Stunde der Pythagorasreihe gibt die Lehrperson das Thema bekannt. Danach liest ein Schüler von einer Folie des Hellraumprojektors Daten und weitere Ergänzungen z...    mehr

  Zu Beginn der ersten Stunde der Pythagorasreihe gibt die Lehrperson das Thema bekannt. Danach liest ein Schüler von einer Folie des Hellraumprojektors Daten und weitere Ergänzungen zum Leben des Pythagoras vor. Danach kommt die Klasse auf den Satz des Pythagoras zu sprechen. Die Schülerinnen und Schüler haben schon ein ziemlich fundiertes Wissen und tragen wichtige Punkte zum Satz des Pythagoras zusammen. Danach übertragen die Schülerinnen und Schüler die Formel und die Ausformulierung des Satzes von der Hellraumprojektor- Folie in ihr Formelheft. In der Folge wird besprochen wie der Kehrsatz des Satzes von Pythagoras heißt. Dieser wird an der Wandtafel notiert und die Lernenden übertragen den Kehrsatz direkt in ihr Formelheft. Darauf erzählt die Lehrperson, dass der Satz des Pythagoras schon im Altertum seine Anwendung fand und untermalt dies mit einer Folie einer ägyptischen Wandmalerei, welche die Schülerinnen und Schüler auch in ihrem Schulbuch haben. Darauf diskutiert die Klasse, wofür der Satz des Pythagoras damals wohl gebraucht wurde. Anschließend erzählt die Lehrperson vom Seiltrick und zeigt mit der Unterstützung zweier Schüler diesen mit einer Schnur vor. Damit veranschaulicht die Lehrperson die Konstruktion und Verwendung des rechten Winkels. Die Klasse zählt darauf die Einteilungen der Schnur, um die Seitenlängen zu bestimmen. Zur Veranschaulichung überträgt die Lehrperson das Dreieck auf die Wandtafel und die Klasse überprüft die Seileinteilung rechnerisch. Darauf schreibt die Lehrperson 3e+4e=5e an die Wandtafel und fordert die Lernenden auf, Angaben zu den drei Seiten eines Dreicks zu machen, wenn e als beliebige Zahl angenommen wird. Die Schülerinnen und Schüler nennen zwei Beispiele. Die Lehrperson konstruiert diese Dreiecke mit drei Baumetern und der Mithilfe eines Schülers. In der Folge verlangt die Lehrperson von Neuem die Nennung dreier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei das bekannte Zahlentrippel und dessen Verfielfältigung mit e diesmal nicht als Berechnungsgrundlage dienen soll. Die Schülerinnen und Schüler finden ein richtiges Beispiel. Die Lehrperson rundet die Sequenz ab, indem sie darauf verweist, dass diese Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen, pythagoräische Zahlentrippel genannt werden. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A06-P-1109-Lek2)
  

  In einem entwickelnden Lehr- und Lerngepräch wird zu Beginn der zweiten Stunde erörtert, wozu der Satz des Pythagoras heute noch verwendet wird. Danach erarbeitet die Lehrperson mit ...    mehr

  In einem entwickelnden Lehr- und Lerngepräch wird zu Beginn der zweiten Stunde erörtert, wozu der Satz des Pythagoras heute noch verwendet wird. Danach erarbeitet die Lehrperson mit der Klasse die Prozedur einer Aufgabe, bei der eine Kathete berechnet werden muss. Darauf gibt die Lehrperson den Auftrag für eine weitere Berechnung, die der vorhergehenden ähnlich ist. Die Seiten sind jedoch mit anderen Variablen bezeichnet. Zur Überprüfung dieser Rechnung schreibt ein Schüler den Lösungsweg und das Ergebnis an die Wandtafel, der Lehrer ergänzt die Wandtafelanschrift und empfiehlt den Schülerinnen und Schülern danach, immer zuerst den Satz des Pythagoras als Formel mit den entsprechenden Variablen aufzuschreiben, um so Fehler zu vermeiden. Darauf teilt die Lehrperson ein Blatt aus. Auf diesem steht die nächste Aufgabe. Die Lösungsprozedur der Aufgabe wird im Klassenverband entwickelt. Es geht dabei um die Anwendung des Pythagoras bei der Berechnung einer neuen Niederschlagswassergebühr in Darmstadt (wobei die Berechnung der Dachfläche wichtig ist ). Nach dem Abschluss dieser Aufgabe verteilt die Lehrperson ein neues Aufgabenblatt, auf dem eine griechische Briefmarke abgebildet ist. Sie stellt den Zerlegungsbeweis dar mit dem bekannten Zahlentrippel (3,4,5). Die Klasse überprüft rechnerisch, ob die Darstellung stimmt. In der Folge erteilt die Lehrperson den Auftrag fünf Teilaufgaben zu lösen. Die Schülerinnen und Schüler lösen diese in Einzelarbeit. Die Aufgaben sind dem bereits Bekannten ähnlich. Es geht dabei um die richtige Darstellung einer Planskizze anhand der pythagoräischen Formel. Die Ergebnisse werden gemeinsam öffentlich korrigiert. In der Folge erteilt die Lehrperson einen neuen Auftrag. Die Lernenden bearbeiten eine Aufgabe mit fünf Teilaufgaben, bei denen je die Länge einer Seite des Dreiecks berechnet wird. Diese Aufgaben sind den bereits gelösten ähnlich und bauen auf Bekanntem auf. Gemeinsam werden die Ergebnisse korrigiert, dazwischen gibt die Lehrperson Hausaufgaben auf. Zum Abschluss der Stunde gibt die Lehrperson noch kurz bekannt, was die Klassse in der nächsten Stunde behandeln wird. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A06-P-1109-Lek3)
  

  Zu Beginn der dritten Lektion der Pythagorasreihe werden die Hausaufgaben gemeinsam kontrolliert. Danach erklärt die Lehrperson, dass die Klasse sich in dieser Stunde zu Beginn mit d...    mehr

  Zu Beginn der dritten Lektion der Pythagorasreihe werden die Hausaufgaben gemeinsam kontrolliert. Danach erklärt die Lehrperson, dass die Klasse sich in dieser Stunde zu Beginn mit dem Flächenzerlegungsbeweis beschäftigen wird. Deren drei werden in der gesamten Lektion bearbeitet. Die ersten beiden Beweisideen entdecken die Schülerinnen handelnd in zwei aufeinanderfolgenden Schülerarbeitsphasen. Die von der Lehrperson korrigierten Arbeiten werden eingeklebt. Der dritte Beweis wird öffentlich bearbeitet, wobei ihn ein Schüler am Hellraumprojektor zu legen versucht. Das Vorgehen beim Zerlegungsbeweis wird anschliessend an der Wandtafel mit magnetischen Dreiecken und Vierecken von einem weiteren Schüler nachvollzogen und danach gemeinsam besprochen. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A07-P-1110-Lek1)
  

  Die Lehrperson fordert die Schülerinnen und Schüler zu Beginn der ersten Lektion auf, Dinge die nicht gebraucht werden aufzuräumen. Danach findet der eigentliche Unterrichtseinstieg ...    mehr

  Die Lehrperson fordert die Schülerinnen und Schüler zu Beginn der ersten Lektion auf, Dinge die nicht gebraucht werden aufzuräumen. Danach findet der eigentliche Unterrichtseinstieg statt. Die Lehrperson hält eine zusammengeknotete Schnur in der Hand und sagt der Klasse, dass sie sich diese Stunde mit einer solchen Schnur beschäftigen werden. In einem fragend-entwickelnden Lehr- und Lerngespräch äußern sich die Schülerinnen und Schüler, wozu eine zusammengeknüpfte Schnur, überhaupt gebraucht werden kann. Darauf verteilt die Lehrperson je eine Schnur pro Gruppentisch. Währenddem erzählt sie, wozu die Ägypter die Seile verwendeten. Die Klasse benennt danach das Spezielle, das diesen zusammengeknüpften Schnüren gemeinsam ist. Als nächstes verteilt die Lehrperson ein Arbeitsblatt. Anhand von fünf Aufträgen werden die Schülerinnen und Schüler zur Beschäftigung mit den Schnurabschnitten angeleitet. Sie arbeiten selbständig explorativ in dreier oder vierer Gruppen an ihren Gruppentischen. Die Lernenden bilden dabei zuerst ein rechtwinkliges Dreieck. Danach bestimmen sie die einzelnen Seitenlängen des Schnurdreiecks und bestimmen, wo sich der rechte Winkel im Dreieck befindet. Dies versuchen sie in Worten schriftlich zu erklären. Zum Schluss schreiben sie sich Fragen auf, die sich stellten. Die Ergebnisse werden gemeinsam ausgewertet. Dabei schreibt die Lehrperson alle drei Seitenlängen der verschiedenen Gruppenseile an die Wandtafel. Nachdem die Lage des rechten Winkels besprochen wurde, wird in einem fragend-entwickelnden Lehrgespräch die Beschriftung des rechten Winkels und die Benennung der längsten und der beiden kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck (Hypotenuse, Katheten) geklärt. Danach leitet die Lehrperson die Lernenden an, die neu gelernten Bezeichnungen der Seiten in ihr Heft zum Dreieck, das sie zuvor in der Gruppenarbeit in ihr Heft gezeichnet hatten, zu notieren. Die Notizen werden darauf von den Schülerinnen und Schülern in Einzelarbeit in ihr Heft übernommen. Nach der Stillarbeit bestimmt die Klasse im öffentlichen Unterrichtsgespräch die Hypotenusen und Katheten der Schnurdreiecke anhand der Längenmaße an der Wandtafel. Die Lehrperson notiert dies an die Wandtafel. Zum Schluss der Stunde schreibt die Lehrperson Fragen, die sich bei der Gruppenarbeit gestellt haben, ebenso an die Wandtafel. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A07-P-1110-Lek2)
  

  In der zweiten Stunde werden die Fragen der Gruppenarbeit der ersten Stunde zusammengetragen. Danach zeichnet die Lehrperson drei rechtwinklige Dreiecke an die Wandtafel. Das Ziel ...    mehr

  In der zweiten Stunde werden die Fragen der Gruppenarbeit der ersten Stunde zusammengetragen. Danach zeichnet die Lehrperson drei rechtwinklige Dreiecke an die Wandtafel. Das Ziel dabei ist, die Seitenbenennungen in rechtwinkligen Dreiecken zu trainieren. Als Training benennt die Klasse nun jeweils die Hypotenuse und die Katheten richtig. In der Folge erteilt die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern den Auftrag, den Zusammenhang der Seiten beim rechtwinkligen Dreieck anhand eines Arbeitsblattes zu besprechen. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten selbständig entdeckend in Gruppen an den Gruppentischen. Dabei geht es um die Entdeckung und das Verständnis verschiedener Zahlentripel und die Ausformulierung des Satzes von Pythagoras. Nach der Gruppenarbeit werden die Entdeckungen unter der Leitung der Lehrperson in der Klasse ausgetauscht. Dabei wird der Satz des Pythagoras ausformuliert und die Formel des Satzes wird im gemeinsamen Lehr- und Lerngespräch erarbeitet, genauso wie der Kehrsatz (Das Dreieck ist rechtwinklig, wenn ...). Zur Überprüfung des Kehrsatzes wird von einem Schüler an der Wandtafel eine Aufgabe gelöst. Nun bezeichnet die Lehrperson das, in dieser Lektion entwickelte, als den Satz des Pythagoras. Darauf schreiben die Schülerinnen und Schüler Titel, Formel und die Ausformulierung des Satzes von Pythagoras von der Wandtafel in ihr Heft ab. Zum Schluss der Lektion verteilt die Lehrperson die Hausaufgaben. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A07-P-1110-Lek3)
  

  Zuerst werden die Hausaufgaben von der Lehrperson angeschaut und gemeinsam korrigiert. Bei zwei Aufgaben werden die Lösungswege besprochen. Zwischen der Korrektur der einzelnen Auf...    mehr

  Zuerst werden die Hausaufgaben von der Lehrperson angeschaut und gemeinsam korrigiert. Bei zwei Aufgaben werden die Lösungswege besprochen. Zwischen der Korrektur der einzelnen Aufgaben nimmt die Lehrperson Bezug auf bekannte Inhalte. Dabei erklären die Schülerinnen und Schüler den Bezug von Katheten und Hypotenuse zum rechten Winkel und definieren den Kehrsatz. Danach erzählt die Lehrperson kurz etwas zur Person des Pythagoras und kommt dabei auf die grafische Darstellung des Satzes zu sprechen. Zwei Schüler heften drei Quadrate und ein vorgefertigtes Dreieck so an die Pinwand, dass sie die pythagoräische Formel grafisch darstellen. Während eines entwickelnden Lehr- und Lerngespräch bespricht die Klasse mit der Lehrperson den Zusammenhang zwischen der Formel und der graphischen Darstellung des Satzes von Pythagoras. Die Behauptung des Pythagoras sei, so fährt die Lehrperson weiter, dass ein Dreieck dann rechtwinklig ist, wenn die beiden Flächenquadrate über den Katheten zusammen so groß sind wie das Flächenquadrat über der Hypotenuse. Mit der Aussage, dass in der Mathematik eine Aussage auch immer bewiesen sein muss, leitet sie zu einem Beweis über. Als erstes kommt die Klasse anhand eines entwickelnden Lehr- und Lerngespräch auf die Beweismöglichkeit der Zerlegung zu sprechen. In der Folge werden die Schülerinnen und Schüler von der Lehrperson instruiert, anhand eines Arbeitsblattes einen Ergänzungsbeweis zu erarbeiten. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten in Gruppen an ihren Gruppentischen selbständig explorierend. Drei Schülerinnen und Schüler, die mit ihrer Arbeit bereits fertig sind, heften nach einiger Zeit mit Unterstützung der Lehrperson die zwei Figuren des Ergänzungsbeweises zur Veranschaulichung von diesem an die Pinwand. Währenddem arbeiten die anderen Schülerinnen und Schüler an ihren Plätzen weiter. Während der Besprechung der Lösungen klingelt es in die Pause. Die Lehrperson verschiebt die weitere Auswertung auf die nächste Stunde und verteilt zum Schluss die Hausaufgaben auf die nächste Stunde. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A08-P-1113-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben, wobei die Lehrperson den Ablauf und die Ziele der nächsten zehn bis zwölf Lektionen bekannt gibt: Das Kennenlernen und Bear...    mehr

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben, wobei die Lehrperson den Ablauf und die Ziele der nächsten zehn bis zwölf Lektionen bekannt gibt: Das Kennenlernen und Bearbeiten des Satzes von Pythagoras. Nachdem die Lehrperson diesen Satz einmal trocken formuliert, werden geometrische Grundsätze zum Berechnen und Konstruieren von Vielecken repetiert. Daran knüpft die Lehrperson die Bedingungen zur Flächengleichheit bei Dreiecken und speziellen Vierecken an. Dann lösen die Schülerinnen und Schüler mit Hilfsangaben der Lehrperson zwei Aufgaben zum Thema Flächengleichheit. Auch die Hausaufgabe, an der die Schülerinnen und Schüler bis zur Pause arbeiten dürfen, ist zu diesem Thema. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A08-P-1113-Lek2)
  

  Die zweite Lektion beginnt mit organisatorischen Angaben, wobei die Lehrperson auch das Thema der Lektion bekannt gibt: der Satz des Pythagoras. Die Lehrperson lässt eine CD-Aufnahme...    mehr

  Die zweite Lektion beginnt mit organisatorischen Angaben, wobei die Lehrperson auch das Thema der Lektion bekannt gibt: der Satz des Pythagoras. Die Lehrperson lässt eine CD-Aufnahme laufen, auf der sich eine Stimme als Pythagoras von Samos vorstellt, den Satz des Pythagoras geometrisch und algebraisch erklärt und schließlich die Schülerinnen und Schüler zu einer Überprüfung des Satzes anleitet. Die Ergebnisse der Schülerinnen und Schüler werden im Plenum mit dem Satz des Pythagoras verglichen. Dabei erklärt die Lehrperson noch einmal genau, wie gerechnet werden muss. Danach greift die Lehrperson die Aussagen des „Pythagoras“ zur geometrischen Darstellung des Satzes auf, skizziert diese an der Wandtafel und verweist die Schülerinnen und Schüler auf das Blatt, das sie soeben bearbeitet haben und auf welchem der Satz des Pythagoras auch geometrisch dargestellt ist. Dann erzählt „Pythagoras“ aus der Geschichte des Satzes, der nach ihm benannt wurde. Die Schülerinnen und Schüler prüfen und formulieren den Satz an drei selbst gezeichneten Dreiecken, bei denen sie die rechten Winkel immer wieder anders benennen, und werden, nachdem diese Aufgabe kontrolliert wurde, von der Lehrperson noch einmal auf die Anwendung des Satzes hingewiesen. Nachdem der Satz noch einmal in Worten formuliert und ins Theorieheft geschrieben wurde, verweist die Lehrperson auf den Ablauf der nächsten Lektionen. Dann formulieren die Schülerinnen und Schüler im Plenum den Satz des Pythagoras für diverse rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten andere Namen als a, b und c haben. Schließlich erhalten sie noch Hausaufgaben eben dieser Art, mit denen sie bis zum Ende der Lektion beginnen können. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A08-P-1113-Lek3)
  

  Als Erstes wird der Satz des Pythagoras und seine Bedeutung von der Klasse zusammen getragen. Dann werden die Hausaufgaben korrigiert, wobei die Lehrperson diejenige aus dem Bereic...    mehr

  Als Erstes wird der Satz des Pythagoras und seine Bedeutung von der Klasse zusammen getragen. Dann werden die Hausaufgaben korrigiert, wobei die Lehrperson diejenige aus dem Bereich der Flächengleichheit an der Wandtafel vorzeigt und sie dann zur Korrektur auf den nächsten Tag noch einmal aufgibt. Danach beweist die Lehrperson der Klasse unter derer aktiven Mitarbeit den Satz mit dem Ergänzungsbeweis. Einen zweiten Beweis – der Zerlegungsbeweis des Philosophen Schopenhauer – sollen die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe eines Anleitungsblattes selber führen. Zu Beginn dieser Schülerarbeitsphase bricht der Film leider ab. (Projekt)    weniger

• Satzgruppe des Pythagoras (A09-P-1114-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit disziplinarischen Hinweisen und einigen organisatorischen Angaben zur Sitzordnung. Die Lehrperson führt ihr problemorientiertes Vorgehen zur Entwicklung des...    mehr

  Die Lektion beginnt mit disziplinarischen Hinweisen und einigen organisatorischen Angaben zur Sitzordnung. Die Lehrperson führt ihr problemorientiertes Vorgehen zur Entwicklung des Satzes von Pythagoras damit ein, dass sie den Schülerinnen und Schülern sagt, dass sie heute ein Phänomen kennenlernen, mit dem sich die Ägypter schon beschäftigt haben. Anhand eines Bildes von ägyptischen Pyramiden sollen die Schülerinnen und Schüler in der Klasse überlegen, wie im Wüstensand die Grundfläche der Pyramide wohl rechtwinklig abgesteckt werden könnte. Die Schülerinnen und Schüler äußern verschiedene, jedoch unbrauchbare Ideen zur Lösung dieses Problems. Schließlich teilt die Lehrperson vorbereitete Knotenschnüre an Schülergruppen aus. In diesen Gruppen sollen die Schülerinnen und Schüler nun selbständig herausfinden, wie mit Hilfe einer solchen Schnur ein rechter Winkel gelegt werden kann. Dank anregender Tipps der Lehrperson gelingt es schließlich allen Gruppen ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenverhältnissen drei, vier, fünf zu legen. Anschließend wird die Lösung kurz an der Wandtafel dargestellt. Nachdem die Begriffe Kathete und Hypotenuse wieder ins Gedächtnis gerufen wurden, versucht die Klasse hinter den Zusammenhang der drei Zahlen drei, vier und fünf zu kommen. Im Plenum werden verschiedene Rechenoperationen getestet, auch das Quadrieren. Dabei wird die These aufgestellt, dass die Summe der Flächen der beiden Kathetenquadrate die Fläche des Hypotenusenquadrates ergibt. Zu dieser Annahme sollen die Schülerinnen und Schüler bis zur Pause selbständig weitere ganzzahlige Beispiele suchen. (Projekt)    weniger