Classroom observation (data): Pythagorasmodul

• Satzgruppe des Pythagoras (B01-P-2101-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit wenigen organisatorischen Informationen. Nach einer Einstimmung mit Bildern von Bauwerken der alten Ägypter und Römer, äußern sich die Schülerinnen und Schüler...    more

  Die Lektion beginnt mit wenigen organisatorischen Informationen. Nach einer Einstimmung mit Bildern von Bauwerken der alten Ägypter und Römer, äußern sich die Schülerinnen und Schüler spontan. Ausgehend von der Frage wie „draußen auf dem Feld“ im rechten Winkel gebaut werden könne, zeigt die Lehrperson, dass mit einer Schnur ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, wenn die Längen der drei Schnurabschnitte im Verhältnis drei, vier und fünf zueinander stehen. Danach fordert die Lehrperson die Schüler und Schülerinnen auf, in Gruppen zu diskutieren und herauszufinden wie die Zahlen der pythagoräischen Zahlentripeln mathematisch zusammenhängen. Dazu wird ein Blatt mit verschiedenen Zahlentripeln abgegeben. An einem Gruppentisch ist der Satz des Pythagoras bereits bekannt. Diese Schülerinnen und Schüler werden nun auf die anderen Gruppen verteilt, um so ihr Wissen an den Rest der Klasse weiterzugeben. Um die Aussagen der Schülerinnen und Schüler zu bestätigen, stellt die Lehrperson den Satz des Pythagoras an der Wandtafel mit einem roten Hypotenusen- und grünen Kathetenquadraten graphisch dar. Danach berechnen die Schülerinnen und Schüler mit dem neu gelernten Satz selbständig die fehlenden Seiten von verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken, ohne dass die Lehrperson vorgezeigt hat, wie solche Aufgaben zu lösen sind. Nachdem die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit hatten, ihre Resultate zu korrigieren, erhalten sie ein Blatt, auf dem sie die Pythagorasfigur entsprechend der Wandtafeldarstellung anmalen und in ihr Theorieheft einkleben. Danach werden in Stillarbeit weitere Dreiecksseiten berechnet und kontrolliert. Um die Lektion abzurunden, wiederholt die Lehrperson vor der Pause das in dieser Lektion Gelernte. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B02-P-2102-Lek1)
  

  Die Lehrperson eröffnet die Stunde, indem sie die Schülerinnen und Schüler auffordert, benötigtes Material zur Geometrie hervor zu holen. Danach gibt die Lehrperson das neue Thema ...    more

  Die Lehrperson eröffnet die Stunde, indem sie die Schülerinnen und Schüler auffordert, benötigtes Material zur Geometrie hervor zu holen. Danach gibt die Lehrperson das neue Thema „Der Satz des Pythagoras“ bekannt. Sie erzählt von Pythagoras, was er gemacht und herausgefunden hat. Nachdem die Lehrperson eine grafische Darstellung mit den Quadratflächen über den Seiten an der Wandtafel erstellt und die Formel a2+b2=c2 dazu geschrieben und erläutert hat, zeigt sie an der Wandtafel mit Hilfe von Papierquadraten und Dreiecken den Ergänzungsbeweis. Die Lehrperson erzählt noch die Geschichte von Pythagoras und seinen Errungenschaften fertig, bevor sie ein Theorieblatt mit dem Satz des Pythagoras als Formel und dessen Beweis den Lernenden verteilt. Anhand dieses Blattes erklärt die Lehrperson anschließend die Umformungen der pythagoräischen Formel. Danach erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die Lösungsprozedur einer einschrittigen Aufgabe zur Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck. Nachdem eine ähnliche weitere bearbeitet wurde, arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbständig im Buch an ähnlichen einschrittigen Aufgaben weiter. Während der Schülerarbeitsphase unterbricht die Lehrperson kurz die Einzelarbeit, um zu erklären, dass der rechte Winkel bei Aufgabe zwei immer bei C ist. Zum Schluss gibt die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt und gibt den Lernenden noch einen allgemeinen Hinweis über das Lernen, wie man an Aufgaben herangeht. Die Lernenden sollen, um Fehler zu vermeiden, die Instruktionen genau lesen und befolgen und nur berechnen, was gefragt ist. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B03-P-2103-Lek1)
  

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will wissen, ob jemand Pythagoras und dessen berühmten Satz kennt. Nachdem eine Schülerin diesen genannt hat, ...    more

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will wissen, ob jemand Pythagoras und dessen berühmten Satz kennt. Nachdem eine Schülerin diesen genannt hat, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler in einem Klassengespräch die Grundprinzipien des Satzes. Sie hält die erarbeitete Theorie fortlaufend in einer grafischen Darstellung an der Wandtafel fest. Indem die Lehrperson die Quadrate über den Dreiecksseiten zeichnet, veranschaulicht sie auf geometrische Weise a2+b2=c2. Danach führt die Lehrperson wiederum in einem fragend-entwickelnden Klassengespräch einen algebraischen Beweis durch. Danach verteilt die Lehrperson ein Merkblatt, welches von den Schülerinnen und Schülern noch fertig bearbeitet werden muss. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen dabei das neu Gelernte auf ihr Blatt. Im Anschluss an die Einzelarbeit erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Lernenden die allgemeine Formulierung des Satzes. Danach wird gemeinsam die Lösungsprozedur dreier verschiedener Aufgaben, welche in dieser Form noch nicht bearbeitet wurden, gelöst. Es handelt sich um zwei Konstruktionsaufgaben, in denen ein Quadrat mit einem bestimmten Flächeninhalt konstruiert werden soll und um eine Berechnungsaufgabe, wo es um die Berechnung einer Seite im rechtwinkligen Dreieck geht. Fünf Minuten vor Schluss haben die Lernenden noch Gelegenheit, selber einen weiteren Beweis, einen Zerlegungsbeweis, handelnd zu entdecken. (Projekt)     less

• Satzgruppe des Pythagoras (B03-P-2103-Lek3)
  

  Zu Beginn der dritten Lektion tragen die Lernenden, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens, das neu erworbene mathematische Wissen vom Vortag nochmals zusammen. Danach erkundigt...    more

  Zu Beginn der dritten Lektion tragen die Lernenden, im Sinne einer Aktivierung des Vorwissens, das neu erworbene mathematische Wissen vom Vortag nochmals zusammen. Danach erkundigt sich die Lehrperson, ob alle Schülerinnen und Schüler das Puzzle für den Zerlegungsbeweis zu Hause fertig einkleben konnten und erläutert diesen nochmals ganz kurz. Darauf gibt sie das Thema der Stunde bekannt. Sie möchte mit etwas Theoretischem einsteigen und dann an den Aufgaben auf dem Übungsblatt weiterarbeiten. Mit der Frage „Wie lautet die Umkehrung des Satzes von Pythagoras?“ , startet die Lehrperson in den Theorieteil. In einem fragend-entwickelnden Lehr-Lerngespräch entwickelt sie zusammen mit den Lernenden den Beweis der Umkehrung, wenn a2+b2=c2, dann muss Gamma neunzig Grad sein. Die Lehrperson notiert und zeichnet fortlaufend die neu erworbenen Kenntnisse an die Wandtafel. Nach der Beweisführung verteilt die Lehrperson ein Theorieblatt. Während die Lehrperson die Blätter verteilt, nehmen die Schülerinnen und Schüler ihre Übungsblätter mit den Hausaufgaben hervor, die nun im Klassenverband besprochen werden. Für die Konstruktionsaufgabe werden zwei unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt. Bei der Aufgabe mit dem Rhombus verweist die Lehrperson nochmals ausdrücklich, dass sich die Schülerinnen und Schüler jeweils gut überlegen sollen, wo sich im Dreieck die längste Seite befindet, beziehungsweise, wo der rechte Winkel liegt, dass die Bezeichnung der Seite nicht wesentlich ist und ändern kann. Bevor die letzte Aufgabe der Hausaufgaben besprochen wird, erarbeitet die Lehrperson zusammen mit den Schülerinnen und Schüler die Prozedur dreier anspruchsvoller Aufgaben ohne Zahlen. Es handelt sich dabei um die Berechnung der Diagonale im Quadrat, der Höhe im gleichseitigen Dreieck und der Diagonale im Würfel. Nachdem die Schülerinnen und Schüler noch die Resultate der letzten Hausaufgabe gelesen und verglichen haben, verweist die Lehrperson auf die Bemerkung am Schluss der Aufgabenstellung: Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck und können die Seitenlängen durch ganze Zahlen ausgedrückt werden, handelt es sich um Pythagoräische Zahlentripel. Die Lehrperson stellt anhand einer Aufgabe den Diophantischen Algorithmus vor. Dabei handelt es sich um eine Methode, wie man Pythagoräische Zahlentripel finden kann. Gemeinsam machen sie zwei Durchläufe. Daraufhin sollte jeder Lernende selbständig drei weitere Tripel, im Sinne einer Übung, finden. Die Lehrperson beschließt die Stunde, indem sie den Schülerinnen und Schüler die drei Durchläufe als Aufgaben mit nach Hause gibt. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B04-P-2104-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Hinweisen. Die Lehrperson gibt wenige Angaben zum Leben des Pythagoras und kommt so schnell auf dessen mathematische Tätigkeit und a...    more

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Hinweisen. Die Lehrperson gibt wenige Angaben zum Leben des Pythagoras und kommt so schnell auf dessen mathematische Tätigkeit und auf den Satz des Pythagoras zu sprechen: Zuerst legt sie die Beschriftung im rechtwinkligen Dreieck fest und formuliert anschließend den Satz des Pythagoras, welchen sie dann auch gleich mit dem Ergänzungsbeweis beweist. Anschließend übernehmen die Schülerinnen und Schüler den Satz und seinen Beweis in ihr Theorieheft. Wie sie damit fertig sind, nimmt die Lehrperson das Lehr-Lern-Gespräch wieder auf: Die Schülerinnen und Schüler benennen die Katheten und Hypotenusen in verschiedenen Dreiecken. Danach werden unter der Leitung der Lehrperson die fehlenden Seiten von sechs Dreiecken berechnet. Weil dabei pythagoräische Zahlentripel als Lösung entstehen, verweist die Lehrperson auf die Primfaktorenzerlegung, die dann bei den folgenden Beispielen auch angewendet wird. Anschließend werden verschiedene Zahlentripel gebildet, ausgerechnet und gesucht. Vor dem Ende der Lektion werden dann noch zwei weitere Dreiecke berechnet. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B05-P-2105-Lek1)
  

  Nach einigen organisatorischen Bemerkungen erteilt die Lehrperson einen neuen Auftrag. Es handelt sich um eine Vorbereitungsaufgabe, die Voraussetzung für die problemorientierte Er...    more

  Nach einigen organisatorischen Bemerkungen erteilt die Lehrperson einen neuen Auftrag. Es handelt sich um eine Vorbereitungsaufgabe, die Voraussetzung für die problemorientierte Erarbeitung des neuen Inhalts, welchen die Lehrperson aber nicht verraten will, ist. Die Schülerinnen und Schüler erhalten farbige Papierstreifen, die sie in Dreiecke schneiden und dann nach einer bestimmten Vorlage ins Heft kleben müssen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die rechtwinkligen Dreiecke so anordnen, dass zwei identische Quadrate entstehen, die jeweils vier der farbigen rechtwinkligen Dreiecke und eine weiße quadratische Fläche, beziehungsweise zwei weiße unterschiedlich große quadratische Flächen, enthalten. Sie arbeiten in Einzelarbeit. Nachdem die ersten Lernenden mit dem Auftrag fertig sind, erteilt die Lehrperson einen weiteren Auftrag. Die Lernenden sollen versuchen, Tatsachen zu den Quadraten herauszufinden. Anschließend an diese explorative Einzelarbeit bespricht die Lehrperson die gefundenen Behauptungen mit den Schülerinnen und Schülern. Gemeinsam finden sie heraus, dass die beiden kleinen weißen quadratischen Flächen gleich groß sein müssen wie die große weiße Fläche im anderen Quadrat. Anschließend an diese Erkenntnis erarbeitet die Lehrperson zusammen mit der Klasse einen Ergänzungsbeweis. Die Lehrperson notiert fortwährend an der Wandtafel. Zwei neue Begriffe „Kathete und Hypotenuse“ werden während der Beweisführung eingeführt. Bevor die Lernenden die Wandtafeldarstellung in ihr Heft übernehmen, um das Gelernte zu vertiefen, gibt die Lehrperson kurz einen geschichtlichen Hintergrund, wer die Formel a2+b2=c2 herausgefunden und wo diese Person gelebt hat. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B06-P-2106-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Danach diktiert die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Aufgabenkatalog, den diese in ihr Theorieheft schreibe...    more

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Danach diktiert die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Aufgabenkatalog, den diese in ihr Theorieheft schreiben und die aufgeschriebenen Aufträge dann auch ausführen: Sie sollen sechs Quadrate, die die Seitenlängen von zwei pythagoräischen Zahlentripeln aufweisen, ausschneiden, die zusammengehörenden zu Pythagorasfiguren zusammenlegen und ihre Beobachtungen dazu schriftlich festhalten. Während die Schülerinnen und Schüler die Aufträge zur Exploration des Satzes von Pythagoras der Reihe nach ausführen, erklärt die Lehrperson, was mit „zu einem Dreieck zusammenlegen“ gemeint ist, eben die Pythagorasfigur legen. Schließlich geht die Lehrperson den Aufgabenkatalog Punkt für Punkt durch, die Schüler geben ihre Beobachtungen an die Klasse weiter. Da der Satz des Pythagoras bei einigen Schülern schon bekannt ist, kommt dieser als Beobachtung bald zur Sprache. An dieser Stelle erklärt die Lehrperson, was der Satz des Pythagoras ist. Danach wird ein weiterer Punkt aus dem Katalog besprochen, was die Lehrperson dazu verleitet, der Klasse etwas über den Mathematiker und Philosophen Pythagoras aus dem Lexikon vorzulesen. Schließlich wird der letzte Punkt besprochen: Weitere Dreiecke suchen, von denen die Summe zweier Seitenquadrate das Quadrat der dritten ergibt. Danach sollen die Schüler selbständig einen Eintrag in ihr Theorieheft machen. Bevor der Film zu Ende ist, beginnt die Lehrperson den Beweis an Hand des Kathetensatzes vorzuzeigen. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B06-P-2106-Lek3)
  

  Als erstes fordert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler auf, mit Hilfe einer Schnur, einem Filzstift und einem Maßstab einen rechten Winkel „herzustellen“. Keinem der Schüler...    more

  Als erstes fordert die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler auf, mit Hilfe einer Schnur, einem Filzstift und einem Maßstab einen rechten Winkel „herzustellen“. Keinem der Schülerinnen und Schüler will das so recht gelingen. Die Lehrperson verweist auf das aktuelle Geometrie-Thema und zeigt den Anwesenden vor, wie mit zwölf gleichen Abschnitten ein rechtwinkliges Dreieck gelegt werden kann. Nun schreiben die Schülerinnen und Schüler den Theoriehefteintrag zum Beweis der vorigen Stunde in ihr Theorieheft ab. Wer fertig ist, löst einige einschrittige Aufgaben zur Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck. Im Plenum wird eine mehrschrittige Aufgabe gelöst, mit der die Lehrperson darauf hinweisen will, dass die Dreiecke, die bei diesen Aufgaben vorkommen, nicht immer rechtwinklig sind, und dass die rechtwinkligen Dreiecke zuerst gesucht werden müssen. Anschließend werden die Resultate der Zusatzaufgaben kontrolliert. Danach lösen die Schülerinnen und Schüler weitere komplexe und mehrschrittige Aufgaben in Stillarbeit. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B07-P-2107-Lek1)
  

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will mit den Lernenden den Satz des Pythagoras kennenlernen und schauen, wie Pythagoras zu dieser Erkenntnis g...    more

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt. Sie will mit den Lernenden den Satz des Pythagoras kennenlernen und schauen, wie Pythagoras zu dieser Erkenntnis gelangte. Problemorientiert entwickelt die Lehrperson mit der Klasse den Satz von Pythagoras. Sie lässt die Lernenden auf dem verteilten Blatt ein Quadrat mit einer vorgegebenen Länge zeichnen. Das rechtwinklige Dreieck, welches sie über der oberen Kante mit Hilfe des Thaleskreises konstruieren sollen, lässt die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler frei wählen, damit zu einem späteren Zeitpunkt bewiesen werden kann, dass der Satz von Pythagoras in jedem rechtwinkligen Dreieck Gültigkeit hat. Über den Katheten des rechtwinkligen Dreiecks lässt die Lehrperson die Lernenden die Kathetenquadrate einzeichnen. Während die Schülerinnen und Schüler in Einzelarbeit die drei entstandenen Quadrate einfärben, ermuntert die Lehrperson diejenigen Schülerinnen und Schüler, die schon fertig sind, sich zu überlegen, was wohl Pythagoras herausgefunden hat. Nach dieser Einzelarbeit nennt ein Schüler die Idee, dass die beiden kleinen Quadrate zusammen die gleiche Fläche haben wie das große Quadrat. Die Lehrperson übernimmt diesen Gedanken und erarbeitet gemeinsam mit den Schülerinnen und Schüler allgemeine Formulierungen. Die Lehrperson kann nun folgende Gleichung an die Wandtafel schreiben: c2=b2+a2. Zu dieser Formel lässt die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler einen Zerlegungsbeweis ausführen. Sie lässt die Lernenden die Quadrate über den Katheten in zwei, beziehungsweise drei Flächen einteilen. Die so entstandenen Stücke schneiden die Schülerinnen und Schüler aus und versuchen diese im Quadrat über der Hypotenuse selbständig entdeckend auszulegen. Wem dies gelungen ist, hilft anderen. Während dieser Schülerarbeitsphase legt die Lehrperson als Hilfe auf dem Hellraumprojektor eine mögliche Anordnung der Flächen auf dem Hypotenusenquadrat auf. Nachdem jeder Lernende die Möglichkeit hatte, eine Lösung zu finden, verteilt die Lehrperson ein Theorieblatt, um die eben gelernten Inhalte zu vertiefen. Jede Schülerin und jeder Schüler erhält Gelegenheit, das Blatt zu studieren. Danach werden in der Klasse die Begriffe "Kathete" und "Hypothenuse" erörtert. Das Theorieblatt enthält einen weiteren Beweis, den die Lehrperson aus Zeitmangel auf die nächste Stunde verschiebt. Nachdem eine Schülerin den Satz nochmals laut vorgelesen hat, zeigt die Lehrperson anhand eines Zahlenbeispiels, wie man mit dem Satz von Pythagoras Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen kann. Sie zeigt, wie man aus den beiden Katheten die Hypothenuse berechnen kann. Im Anschluss daran, lösen sie gemeinsam drei ähnliche einschrittige Aufgaben. Die Lehrperson schließt die Stunde, indem sie die Hausaufgaben bekannt gibt. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B08-P-2108-Lek1)
  

  In einer längerdauernden öffentlichen problemorientierten Phase (Zahlentripel) wird der Satz des Pythagoras problemorientiert erarbeitet. Zuerst gibt die Lehrperson dazu den Schüleri...    more

  In einer längerdauernden öffentlichen problemorientierten Phase (Zahlentripel) wird der Satz des Pythagoras problemorientiert erarbeitet. Zuerst gibt die Lehrperson dazu den Schülerinnen und Schülern den Auftrag, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen, dieses zu beschriften und die Seiten zu messen. Danach werden von den Schülerinnen und Schülern die Maße dreier, von ihnen gezeichneter Dreiecke diktiert, und die Lehrperson schreibt die Maße an die Wandtafel. Darauf trägt die Klasse in einem entwickelnden Lehr- und Lerngespräch beobachtbare Zusammenhänge zwischen den Dreieckseiten ihrer gezeichneten rechtwinkligen Dreiecke zusammen. Ergänzend dazu schreibt die Lehrperson das Zahlentripel 3, 4, 5 an die Wandtafel und gibt den Schülerinnen und Schülern den Auftrag die Quadratzahlen der Seitenlängen von ihrem und von diesem Dreieck zu berechnen. Dies geschieht alles in einer öffentlichen Phase und in der Folge des entwickelnden Lehr- und Lerngesprächs wird die Formel des Pythagoras genannt. Diese wird von der Klasse mit den Beispielen an der Wandtafel überprüft. Dabei stellt die Klasse fest, dass aufgrund von Messungen Ungenauigkeiten auftreten. Die Lehrperson äußert dazu, dass die Formel von Pythagoras aber trotzdem als allgemeingültig angenommen werden kann. Die Formel a2+b2 =c2 wird von der Lehrperson an die Wandtafel geschrieben. In der Folge entwickelt die Lehrperson mit der Klasse problemorientiert einen Beweis des Satzes von Pythagoras. Dabei wird zuerst anhand eines entwickelnden Lehr- und Lerngesprächs besprochen, wie die Quadratzahlen grafisch dargestellt werden. Darauf wird die Formel a2+b2 =c2 von den Schülerinnen und Schülern mit ihren Legeformen aus Plastik dargestellt, die Lehrperson zeigt es gleichzeitig am Hellraumprojektor vor. Nun gibt die Lehrperson die Anweisung, aus den vorhandenen Dreiecken und Vierecken zwei deckungsgleiche Vierecke zu bauen. Die zwei deckungsgleichen Vierecke entsprechen der grafischen Darstellung des Ergänzungsbeweises. Da einigen Schülerinnen und Schülern das Material fehlt, arbeiten sie in Gruppen. In der nächsten Phase entwickelt die Lehrperson auf der Basis der gelegten Quadrate den Beweis. Darauf benennt die Lehrperson die Formel als Satz des Pythagoras. Bei der Erläuterung des Arbeitsplans, macht die Lehrperson die Lernenden darauf aufmerksam, dass sie in den nächsten Wochen mit dieser Formel rechnen werden. Die Lehrperson erklärt weitere organisatorische Belange genau: Das selbständige Aufstellen des Zeitrahmens, die Anzahl der Aufgaben, welche von den Lernenden bearbeitet werden und die Arbeitsform (Arbeit in Gruppen). Zum Schluss der Stunde gibt die Lehrperson den Auftrag, einen Theoriehefteintrag zu schreiben. Dafür schreiben die Schülerinnen und Schüler die Anschriften der Wandtafel und einen Teil des Beweises ab und einen anderen Teil des Beweises, den sie auf einem Blatt erhalten haben, kleben sie ins Heft. Wer mit dieser Arbeit nicht fertig wird, macht sie nach der Pause fertig. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B10-P-2110-Lek1)
  

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das Thema der Stunde bekannt. Nach ersten historischen Bemerkungen zum Satz des Pythagoras entwickelt sie gemeinsam mit der Klasse anhand ...    more

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das Thema der Stunde bekannt. Nach ersten historischen Bemerkungen zum Satz des Pythagoras entwickelt sie gemeinsam mit der Klasse anhand einer Zahlentripelaufgabe den Satz des Pythagoras. Die Schüler(innen) versuchen in Partnerarbeit mit drei Schnüren mit vorgegebener Länge ein rechtwinkliges Dreieck auszulegen und tragen ihre Ergebnisse an der Wandtafel ein. Angeleitete Stillarbeitsphasen und öffentliche Kontrollphasen bez. Erarbeitungsphasen wechseln sich ab. Anschließend erarbeitet die Lehrperson gemeinsam mit den Schüler(innen) an der Wandtafel einen Hefteintrag, in welchem der Satz grafisch dargestellt wir. Die Schüler(innen) übernehmen die Wandtafelanschrift in ihr Heft. Danach erfolgt eine kurze Repetition der Seitenbezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck. Darauf hält die Lehrperson die erarbeitete Formel an der Wandtafel fest und formuliert den Merksatz in Worten aus, die Schüler(innen) schreiben mit. Bevor die Lehrperson die Schüler(innen) in die Pause entlässt, gibt sie einen Ausblick darauf, was sie nach der kurzen Pause im zweiten Teil der Doppelstunde machen werden. Die Lektion endet mit organisatorischen Hinweisen. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B11-P-2111-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Die Schüler setzen sich in Gruppen zusammen und erhalten pro Gruppe drei ausgeschnittene rechtwinklige Dreiecke aus Papie...    more

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Angaben. Die Schüler setzen sich in Gruppen zusammen und erhalten pro Gruppe drei ausgeschnittene rechtwinklige Dreiecke aus Papier. In der Klasse werden - ohne diese schriftlich fest zu halten - kurz die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck angesprochen. Danach versuchen die Schülerinnen und Schüler in Gruppen an Hand der vorliegenden Dreiecke Verhältnisregeln, die im rechtwinkligen Dreieck gelten sollen, herauszufinden. Da der Satz des Pythagoras bei einigen Schülerinnen und Schüler bereits bekannt ist, bringen zwei der drei Schülergruppen in einer Sammlungsphase dann auch zur Sprache, dass die Summe der Flächen der Kathetenquadrate der Fläche des Hypotenusenquadrats entspricht. Auf Grund dieser Annahme füllen die Schülerinnen und Schüler eine Tabelle an der Wandtafel mit den Maßen ihrer Dreiecke aus. Mit diesen Berechnungen wird überprüft, dass die Summe der Kathetequadrate der vermessenen Dreiecke ziemlich genau ihren Hypotenusenquadraten entspechen. Anschließend stellt die Lehrperson diese Aussage mit der Pythagorasfigur an der Wandtafel bildlich dar und zeigt dann ein Computerprogramm, das beim Verschieben des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks auf dem Thaleskreis sofort alle Seitenquadrate berechnet. Den mathematischen Beweis des Satzes kündigt die Lehrperson für die nächste Lektion an. Dann legt sie eine Folie auf den Hellraumprojektor, auf der alle wichtigen Aussagen dieses Theorieteils festgehalten sind. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen das auf der Folie Beschriebene in ihr Theorieheft. Diejenigen Schülerinnen und Schüler, die mit Abschreiben fertig sind, beginnen selbständig mit einschrittigen Berechnugen von Seiten eines gegebenen rechtwinkligen Dreiecks. Vor dem Ende der Lektion werden die Hausaufgaben - diese ersten vier Dreiecksseiten zu berechnen und eine Vorbereitungsaufgabe für den Beweis der nächsten Lektion - erteilt. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B12-P-2112-Lek1)
  

  Zu Beginn der ersten Lektion der Pythagorasreihe gibt die Lehrperson den Schülerinnen und Schhülern das Thema (Satz des Pythagoras) und die Erarbeitungsform (anhand des Lerntagebuc...    more

  Zu Beginn der ersten Lektion der Pythagorasreihe gibt die Lehrperson den Schülerinnen und Schhülern das Thema (Satz des Pythagoras) und die Erarbeitungsform (anhand des Lerntagebuches und durch offene Fragen) bekannt. Danach zeigt die Lehrperson Bilder von Pythagoras am Hellraumprojektor und erzählt ausführlich von der Person des Pythagoras, von dessen Geschichte und Leistungen. Darauf schreibt die Lehrperson die Formel a2+b2=c2 an die Wandtafel mit dem Hinweis, dass die Schülerinnen und Schülern diese Formel so erforschen werden, damit sie sie dann einer anderen Person erklären können. Bevor die Schülerinnen und Schüler zu arbeiten beginnen, gibt die Lehrperson den weiteren Ablauf der Stunde und das Ziel bekannt. Zur Erforschung des Satzes von Pythagoras arbeiten die Schülerinnen und Schüler zu zweit im Karusellprinzip an drei verschiedenen Aufträgen. Nach einigen Minuten wird die Partnerarbeit von der Lehrperson unterbrochen. Einzelne Schülerinnen und Schüler teilen der ganzen Klasse die bereits gemachten Gedanken und die ersten Erkenntnisse mit. Dies soll die anderen Schülerinnen und Schülern bei der Bearbeitung der noch nicht bearbeiteten Aufträge unterstützen. Nun wechseln die Lernenden ihre Plätze, um in Partnerarbeit einen neuen Auftrag zu bearbeiten und zu forschen. Nach etwa 10 Minuten neuerlicher Partnerarbeit bricht der Film ab. Auftrag 1: Bei der einen Aufgabenstellung handelt es sich um die grafische Darstellung des Ergänzungsbeweises. Die Fläche a2 und b2 und vier rechtwinklige Dreiecke (Quadrat) sind dabei gleich groß wie c2 und vier rechtwinklige Dreiecke (Quadrat). Dabei soll gezeigt werden, dass a2+b2=c2 (indem die vier gleich großen, rechtwinkligen Dreiecke von den Quadraten je abgezählt werden). Dabei handelt es sich um de Ergänzungsbeweis. Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, ihre Überlegungen und Gedanken zu diesem Auftrag in Stichworten zu notieren, um dann eine Formulierung auszuarbeiten. Auftrag 2: Bei der zweiten Aufgabenstellung erhalten die Schülerinnen und Schüler mehrere Blätter. Die Grundlage der Aufgabenstellung bildet die Abbildung eines Parketts, das aus verschiedenen Rechtecken und drei verschieden großen Quadraten besteht. Nun sollen die Schülerinnen und Schüler das kleine Quadrat in zwei, das mittlere in drei Vielecke aufteilen und alle Vielecke sollen zu einem neuen Quadrat zusammengefügt werden, das auf das Parkettmuster passt. Bei dieser Aufgabenstellung handelt es sich um einen Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras. Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, ihre Überlegungen und Gedanken zu diesem Auftrag in Stichworten zu notieren, um dann eine Formulierung auszuarbeiten. Auftrag 3: Bei der dritten Aufgabenstellung handelt es sich um das Nachvollziehen der Technik, anhand der die Ägypter rechte Winkel konstruierten. Rechte Winkel konstruierten die Ägypter mit Hilfe von zusammengeknoteten Seilstücken, die sie in zwölf gleich große Abschnitte einteilten. Dabei ist der Bezug zu den Seitenverhältnissen (3:4:5/ Zahlentripel) eines rechtwinkligen Dreiecks ausschlaggebend. Auch hier werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, ihre Überlegungen und Gedanken zu diesem Auftrag und der Vorgehensweise der Ägypter in Stichworten zu notieren, um dann eine Formulierung auszuarbeiten. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B12-P-2112-Lek2)
  

  In der zweiten Lektion arbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit, je an einem der drei Aufträge selbständig entdeckend weiter. Danach findet der Austausch in der Klasse st...    more

  In der zweiten Lektion arbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit, je an einem der drei Aufträge selbständig entdeckend weiter. Danach findet der Austausch in der Klasse statt. Neue Gedanken, Erkenntnisse und Lösungsversuche zu den einzelnen Aufträgen werden von einzelnen Schülerinnen und Schülern der Klasse mitgeteilt. Danach legen die Schülerinnen und Schüler ihre Arbeitsblätter an den dritten, von ihnen bisher unbearbeiteten Posten, den sie nach einer fünfminütigen Pause bearbeiten werden (im Video ist die Pause als Schnitt bei 00:14:47 erkennbar). Nach der Pause arbeiten die Schülerinnen und Schüler wiederum in Partnerarbeit selbständig entdeckend am dritten und letzten, von ihnen noch nicht bearbeiteten, Auftrag. Die Schülerinnen und Schüler formulieren danach in der Gruppe (zwei bis drei Partnerarbeitsgruppen zusammen) ihre Erkentnisse zur Aufgabe möglichst kurz und prägnant und bestimmen eine Schülerin/ einen Schüler, die/ der dies der ganzen Klasse am Hellraumprojektor vorträgt. Die Lehrperson gibt nun einen kurzen Überblick zum weiteren Stundenverlauf: Die Gruppen teilen ihre Überlegungen zu den drei Aufträgen vor der Klasse vor. Als erstes tragen zwei Schüler ihre Erkenntnisse zum Seiltrick der Ägypter vor und bestätigen dabei die Behauptung a2+b2=c2. Danach erzählt die Lehrperson kurz, wozu die Ägypter die Konstruktion des rechten Winkels benötigten. Darauf äußert sich ein Schüler am Hellraumprojektor zur Darstellung des Ergänzungsbeweises und rechnet vor, weshalb hier die Behauptung a2+b2=c2 stimmt. In der Folge werden die Erkenntnisse zum Parkett von zwei Schülerinnen geäußert. Sie bestätigen, dass das größte Quadrat gleich groß ist, wie die zwei kleineren zusammen. Zum Schluss der Doppellektion klärt die Lehrperson organisatorische Fragen bezüglich der nächsten Stunden und der Hausaufgaben. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B13-P-2113-Lek1)
  

  Die Lehrperson steigt in die erste Lektion dieser Pythagorasreihe mit einer Wiederholung geometrischer Orte ein. Mit Hilfe eines fragend- entwickelnden Lehr- und Lerngespräches nenne...    more

  Die Lehrperson steigt in die erste Lektion dieser Pythagorasreihe mit einer Wiederholung geometrischer Orte ein. Mit Hilfe eines fragend- entwickelnden Lehr- und Lerngespräches nennen die Schülerinnen und Schüler den Kreis, die Mittelsenkrechte, die Mittelparalelle, den Thaleskreis und die Winkelhalbierende als geometrische Orte. Darauf erteilt die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern einen Auftrag, bei dem sie ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen sollen, indem sie den Thaleskreis über der Seite c konstruieren. Danach sollen sie die Seiten a, b und über den drei Seiten die entsprechenden Flächenquadrate zeichnen. Da der Auftrag auf Häuschenpapier gezeichnet wird, sollen die Schülerinnen und Schüler danach die Häuschen der einzelnen Flächenquadrate zählen und miteinander vergleichen. Schlussfolgerungen sollen dabei an der Tafel notiert werden. Bevor die Schülerinnen und Schüler zu arbeiten beginnen, werden in einem entwickelnden Lehr- und Lerngespräch die Seitenbezeichnungen (Hypotenuse und Katheten) in einem rechtwinkligen Dreieck erarbeitet. Danach arbeiten die Schülerinnen und Schüler zu zweit an dem zuvor erteilten Auftrag. Bei der Auswertung erklärt ein Schüler am Hellraumprojektor, wie er die Flächen berechnet hat. Eine Schülerin präsentiert die Schlussfolgerung, dass die Summe der Flächenquadrate über den Katheten gleich groß ist, wie das Flächenquadrat über der Hypotenuse. Während der Stillarbeitsphase wurden von den Schülerinnen und Schülern die Formel a2 + b2 = c2 und deren Ableitungen an der Wandtafel notiert. Nun überprüft die Klasse die Formel a2 + b2 = c2 mit dem Taschenrechner und befindet sie als richtig. Mit der Unterstützung der Lehrperson und der Gleichungslehre, werden auch die Umkehrungen der Formel als richtig anerkannt. Zum Schluss der Lektion gibt die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B13-P-2113-Lek2)
  

  Die Lehrperson betritt das Schulzimmer etwas verspätet, weshalb zu Beginn der Lektion das Mikrofon installiert wird. Danach wird in der Klasse der Inhalt der letzten Stunde während ein...    more

  Die Lehrperson betritt das Schulzimmer etwas verspätet, weshalb zu Beginn der Lektion das Mikrofon installiert wird. Danach wird in der Klasse der Inhalt der letzten Stunde während einer öffentlichen Phase aufgefrischt. Dabei wird von Schülern ein rechtwinkliges Dreieck an die Wandtafel skizziert, bei dem die Beschriftung stimmen soll, sodass die Seite c der Hypotenuse entspricht. Eine weitere Schülerin zeichnet die Flächenquadrate über den Seiten, und diese werden danach beschriftet mit a2, b2, c2. Darauf wird die Formel a2 + b2 = c2 an die Wandtafel geschrieben sowie deren Ableitungen. In der Folge formulieren verschiedene Schülerinnen und Schüler den Satz des Pythagoras in eigenen Worten. Die Lehrperson präsentiert die eigentliche Ausformulierung des Satzes und mehrere Schülerinnen und Schüler wiederholen diese mündlich. Anhand eines fragend-entwickelnden Lehrgesprächs bespricht die Klasse nun das Wurzelziehen, um die Seiten c, a, b zu erhalten. Dies macht die Klasse zuerst mit den Variablen, danach wird das Wurzelziehen konkret anhand des bekannten Zahlentrippels 3, 4, 5 behandelt. Danach leitet die Lehrperson die Schülerinnnen und Schüler an, einen Theoriehefteintrag zu machen. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen Titel und Ausformulierung vom Hellraumprojektor in ihr Heft und konstuieren die Zeichnung zum Satz mit Hilfe des Thaleskreises, mit vorgegebenen Massen und schreiben die Formel und deren Ableitungen von der Wandtafel ab. Danach bespricht die Klasse die Hausaufgaben, bei denen es um die Bestätigung des Satzes von Pythagoras geht. Mit einem fragend- entwickelnden Lehr- und Lerngespräch leitet die Lehrperson zur Beweisführung des Satzes von Pythagoras über. Es handelt sich dabei um den Ergänzungsbeweis. Dieser kann nicht zu Ende entwickelt werden, da es in die Pause klingelt. Er wird in der dritten Stunde weiter bearbeitet. Zum Schluss der Stunde gibt die Lehrperson die Hausaufgaben bekannt. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B14-P-2114-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Informationen. Danach werden die Hausaufgaben korrigiert. Die Lehrperson zeichnet an die Wandtafel eine Tabelle mit den drei Spalt...    more

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Informationen. Danach werden die Hausaufgaben korrigiert. Die Lehrperson zeichnet an die Wandtafel eine Tabelle mit den drei Spalten e, f und g. Darüber schreibt sie die Gleichung e2 + f2 = g2. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen die Tabelle in ihr Notizheft und füllen sie so aus, dass die eingefüllten Zahlen mit der Gleichung übereinstimmen. Die Zahlen müssen nicht ganzzahlig sein. Für die Tabelle an der Wandtafel sammelt die Lehrperson einige Beispiele, diese werden von der Klasse überprüft. Nun konstruieren die Schülerinnen und Schüler Dreiecke. Als Seitenlängen verwenden sie die errechneten Werte aus ihrer Tabelle. Dabei stellen sie fest, dass alle konstruierten Dreiecke etwa rechtwinklig werden. Mit Hilfe dieser Erkenntnissse und der anfangs aufgestellten Gleichung wird der Satz des Pythagoras in der Klasse formuliert. Dieser wird von der Lehrperson auch sofort mit dem Ergänzungsbeweis bewiesen. Anschließend erzählt sie etwas über die Person Pythagoras. Nach diesem geschichtlichen Exkurs werden in der Klasse die Umkehrungsformeln des Satzes von Pythagoras formuliert, diese schreiben die Schülerinnen und Schüler in ihr Theorieheft und zeichnen dazu auch die Pythagorasfigur, die die Lehrperson auf dem Hellraumprojektor aufgelegt hat. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B14-P-2114-Lek2)
  

  Nach der Pause arbeiten die Schülerinnen und Schüler an dem Hefteintrag weiter. Wie sie fertig sind, teilt die Lehrperson ein Blatt aus, auf dem der Beweis, der vorige Stunde gefüh...    more

  Nach der Pause arbeiten die Schülerinnen und Schüler an dem Hefteintrag weiter. Wie sie fertig sind, teilt die Lehrperson ein Blatt aus, auf dem der Beweis, der vorige Stunde geführt wurde, noch einmal dargestellt ist. Anhand dieses Blattes repetiert die Lehrperson den Beweis noch einmal kurz. Anschließend ruft sich die Klasse die Umkehrformeln des Satzes wieder ins Gedächtnis, um mit ihnen einige einschrittige und einfache mehrschrittige Übungsaufgaben aus dem Buch zu lösen. Die erste der Übungen löst die Klasse im Plenum, die weiteren lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig. Dann werden die Aufgaben korrigiert. Die Lehrperson verweist auf die ganzzahligen Beispiele, die in der Tabelle der letzten Lektion entstanden sind. Mit einer Schnur, die in drei Abschnitte mit den Längen dreißig, vierzig und fünfzig Zentimeter unterteilt wurde, legt eine Schülerin an der Wandtafel ein Dreieck, das, wie erwartet, rechtwinklig ist. Kurz verweist die Lehrperson darauf, dass mit dieser Methode im Gelände ein rechter Winkel abgesteckt werden könnte. Dann rechnen die Schülerinnen und Schüler an den Aufgaben weiter. Während dieser Stillarbeitsphase veranlasst die Lehrperson die Schüler die Resultate einiger Aufgaben zum Vergleich bekannt zu geben. Die Lehrperson unterbricht die Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit, um mit ihnen gemeinsam die Formel zur Berechnung der Quadratdiagonalen zu entwickeln. Die Entwicklung wird von einem konkreten Zahlenbeispiel begleitet. Die Lektion wird mit einigen organisatorischen Informationen abgeschlossen. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B15-P-2115-Lek1)
  

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Besprechungen. Die Lehrperson gibt dann das Thema der Lektion bekannt, was sie dazu veranlasst, etwas über Pythagoras und seinen S...    more

  Die Lektion beginnt mit einigen organisatorischen Besprechungen. Die Lehrperson gibt dann das Thema der Lektion bekannt, was sie dazu veranlasst, etwas über Pythagoras und seinen Satz zu erzählen, und dass dieses Prinzip den Ägyptern schon lange vor Pythagoras bekannt war. Mit einer vorbereiteten Schnur zeigt die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern, wie die Ägypter rechte Winkel bilden konnten. Wegen Unklarheiten seitens der Schülerinnen und Schüler versammelt sich die Klasse auf Geheiß der Lehrperson um einen Schülerpult, wo mit Hilfe mehrerer Hände das Dreieck noch einmal gebildet und der rechte Winkel als solcher bestimmt wird. An diesem Dreieck werden die Begriffe Katheten und Hypotenuse repetiert. Die Seitenlängen des entstandenen Dreiecks verhalten sich 3:4:5. Im Lehrgespräch bringt die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern nahe, dass immer ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, wenn die drei Seiten in diesem Verhältnis zueinander stehen. Danach schneiden sich die Schülerinnen und Schüler zu zweit ein beliebig langes Stück Schnur ab, das sie zusammenknüpfen, auf ihrem Pult zu einem rechtwinkligen Dreieck spannen, dessen Seiten messen und diese Längen an der Wandtafel in eine Tabelle eintragen. Schnellere Schülergruppen spannen und vermessen noch ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Wie die Tabelle gefüllt ist, führt die Lehrperson den Begriff Zahlentripel ein und verteilt ein Blatt, auf dem die Schülerinnen und Schüler viele ganzzahlige pythagoräische Zahlentripel finden. An Hand dieser Liste und den Zahlentripeln an der Wandtafel sollen die Schülerinnen und Schüler nun selbständig in zweier Gruppen deren mathematischen Zusammenhang explorativ heraus finden und ihre Entdeckungen der Lehrperson kund tun. Da nach kurzer Zeit schon viele im Ansatz richtige Antworten bei der Lehrperson eingetroffen sind, lässt die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungsvorschläge an die Klasse weiter geben. Daraus entwickelt sich eine Diskussion darüber, dass bei den entdeckten Formeln die Operationszeichen nicht beliebig gesetzt werden können, sondern dass die Flächen der Seitenquadrate zum Berechnen der Hypotenuse plus, zum Berechnen einer Kathete minus gerechnet werden müssen. Wie sich Schülerinnen und Schüler unterstützt durch die Lehrperson gegenseitig von der korrekten Vorgehensweise überzeugt haben, gibt die Lehrperson die Hausaufgaben, die auch eine schriftliche Repetition dieser Lektion beinhalten, bekannt und schließt so die Lektion ab. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B15-P-2115-Lek2)
  

  Die Lehrperson eröffnet die Lektion mit der Bekanntgabe der Ablaufs und des Ziels der folgenden Doppellektion. Dann lesen einige Schülerinnen und Schüler ihre Zusammenfassung des L...    more

  Die Lehrperson eröffnet die Lektion mit der Bekanntgabe der Ablaufs und des Ziels der folgenden Doppellektion. Dann lesen einige Schülerinnen und Schüler ihre Zusammenfassung des Lerninhaltes der letzten Mathelektion bzw. der Hausaufgaben vor: Eigene Formulierungen des Satzes von Pythagoras. Die Lehrperson korrigiert die eine oder andere Unklarheit wobei auch andere Schülerinnen und Schüler ihre Ideen einbringen können. Schließlich lesen die Schülerinnen und Schüler eine korrekte Version am Hellraumprojektor. Da bei der Einführung des Satzes von Pythagoras in der Parallelklasse ein Problem aufgetaucht ist, nimmt die Lehrperson dieses gleich vorweg: Sie zeigt an einem Dreieck am Hellraumprojektor, dass der Satz a2 + b2 = c2 nur richtig ist, wenn das zu bestimmende Dreieck auch entsprechend beschriftet ist. Darum sei es besser immer auf den oben auf der Projektorfolie allgemein formulierten Satz zurück zu greifen. Dann werden die Hausaufgaben kontrolliert und neue Aufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad vorbesprochen (ein und mehrschrittige Aufgaben zur Seitenberechnungen im rechtwinkligen Dreieck, Recheck und gleichschenkligen Dreieck). Bis zur Pause haben die Schülerinnen und Schüler viel Zeit, um selbständig an diesen Aufgaben zu arbeiten. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B16-P-2201-Lek1)
  

  Nach einigen organisatorischen Belangen und Klärung von Terminen gibt die Lehrperson bekannt was heute und am nächsten Tag auf dem Programm steht. Sie besprechen den Arbeitsplan und de...    more

  Nach einigen organisatorischen Belangen und Klärung von Terminen gibt die Lehrperson bekannt was heute und am nächsten Tag auf dem Programm steht. Sie besprechen den Arbeitsplan und dessen Ablauf. Danach startet die Lehrperson mit einer Aufgabe vom Arbeitsplan. Anhand dieser Parkett-Aufgabe wollen sie gemeinsam Schritt für Schritt den Satz von Pythagoras problemorientiert entwickeln. Die auf einem Arbeitsblatt dargestellten Schritte der Verwandlung eines Quadrates zu einem Parkettteilstück werden von den Schülerinnen und Schülern handelnd nachvollzogen. Als Kontrolle legen die Schülerinnen und Schüler gemeinsam mit der Lehrperson noch einmal die Parkettbildung (Umwandlung von Quadrat zu neuer Figur). Danach beschriften sie in der Klasse die Teilstücke, um zu begründen, wieso die neue Figur aus zwei Quadraten besteht. Sie entwickeln gemeinsam, dass diese zusammen gleich groß sind wie das ursprüngliche Quadrat, dass a2 + b2 = c2 ist. Anschließend liest jede Schülerin und jeder Schüler im Buch die Theorie zum Satz von Pythagoras. Bevor die Lehrperson zusammen mit den Lernenden eine einfache Berechnungsaufgabe, in der die beiden Katheten gegeben sind, löst, klären sie noch, wie die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck benannt werden. Nach der ersten Berechnungsaufgabe notieren die Lernenden die Formel zur Berechnung der Hypotenuse auf ihrem Theorieblock. Danach lösen sie zu zweit eine nächste ähnliche Berechnungsaufgabe, in der eine der Katheten und die Hypotenuse gegeben sind. Auch diesmal müssen die Schülerinnen und Schüler, nachdem die Lehrperson mit ihnen die Aufgabe besprochen und einen Lösungsweg aufgezeigt hat, auf ihrem Theorieblock einen Eintrag machen. Diesmal erweitern sie ihre Unterlagen mit der Formel zur Berechnung einer Kathete. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B17-P-2202-Lek1)
  

  Zu Beginn dieser Pythagorasreihe begrüßt die Lehrperson die Klasse und stellt das Filmteam vor. Dann werden die Pulte verschoben. Danach korrigiert die Klasse die Hausaufgaben am He...    more

  Zu Beginn dieser Pythagorasreihe begrüßt die Lehrperson die Klasse und stellt das Filmteam vor. Dann werden die Pulte verschoben. Danach korrigiert die Klasse die Hausaufgaben am Hellraumprojektor und die Lehrperson zeigt einen Lösungsweg zu den Hausaufgaben an diesem auf. Darauf zeichnet die Lehrperson ein Haus an die Wandtafel. Das ist der Beginn einer problemorientierten Aufgabenstellung. An der Hauswand wird eine Leiter angestellt. Die Frage ist nun wie lange die Leiter sein muss, wenn die Höhe der Hauswand und der Abstand von der Leiter zur Hauswand bekannt ist. Die Lehrperson fordert die Schülerinnen und Schüler auf, die Masse zu schätzen. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten zu zweit selbständig entdeckend. Nach einer kurzen Schülerarbeitsphase werden die Ergebnisse im öffentlichen Unterricht zusammengetragen. Dabei schreibt die Lehrperson vier Ergebnisse der Schülerinnen und Schüler an die Wandtafel und stellt danach Pythagoras und die Formel a2 + b2 = c2 vor. Dabei weist die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler darauf hin, dass c immer die längste Seite ist und dass es sich bei der Anwendung des Satzes von Pythagoras immer um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss. Darauf bezeichnet sie die Seiten des an der Wandtafel vorgegebenen Dreiecks (Haushöhe, Abstand, Leiter) mit den entsprechenden Buchstaben und gibt den Schülerinnen und Schülern den Auftrag, die Seite c (Leiter) zu berechnen. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten zu zweit. Die Aufgabe ist anspruchsvoll, da die Klasse c bisher noch nicht berechnet hat. Nach einer kurzen Schülerarbeitsphase nennt eine Schülerin das Ergebnis und die Lehrperson zeigt der Klasse den Lösungsweg vor. Darauf gibt die Lehrperson die Anweisung, die Zeichnung und die Anschrift der Wandtafel ins Übungsheft zu übernehmen. Während der Schülerarbeitsphase zeichnet die Lehrperson zwei weitere rechtwinklige Dreiecke an die Wandtafel und schreibt dazu jeweils die Maße der zwei kürzeren Seiten. Wer mit Abschreiben fertig ist, berechnet darauf die zwei fehlenden Seiten. Da die Schülerinnen und Schüler nun bereits wissen wie das geht, sind diese Aufgaben repetitiv, also einfach. Die Ergebnisse werden gemeinsam kontrolliert. Darauf leitet die Lehrperson über zur Beweisführung des Ergänzungsbeweises. Dieser wird in kleinen Schritten aufgebaut. Auf die Wandtafel ist die grafische Darstellung des Satzes von Pythagoras gezeichnet. Nun bezeichnet die Klasse zuerst den jeweiligen Flächeninhalt der entsprechenden Quadrate über den Seiten. Darauf weist die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler an, die auf den Pulten bereitliegenden blauen und gelben Blätter zu nehmen und die darauf kopierten Figuren auszuschneiden, um sie nachher zur grafischen Darstellung des Satzes von Pythagoras zu ordnen. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten dazu alleine. Darauf möchte die Lehrperson eine einfache Beweisführung mit der Klasse entwickeln, wozu die Puzzleteile von Nöten wären. Da die Schülerinnen und Schüler aber keine Vorschläge bringen, leitet die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler an, die Seiten ihrer Dreiecke zu messen und die Flächen mit dem Taschenrechner zu berechnen. Dazu arbeiten die Schülerinnen und Schüler alleine, selbständig entdeckend. Nach der Schülerarbeitsphase nennen die Schülerinnen und Schüler die Ergebnisse. Die Lehrperson äussert darauf, dass a2 + b2 = c2 nicht nur rechnerisch, sondern auch geometrisch überprüft werden kann. Die Schülerinnen und Schüler sollen darauf a2, b2 so zerschneiden, das sie c2 bilden. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten dazu zu zweit selbständig entdeckend. Während der Schülerarbeitsphase geht die Lehrperson herum und kontrolliert die Resultate. Mit der Bemerkung, dass es hier viele Lösungen gibt, die alle richtig sind, leitet die Lehrperson zur nächsten Aufgabenstellung über. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler mit ihren farbigen Formen am Platz die Darstellung des Ergänzungsbeweises von der Wandtafel übernehmen und je eine Figur ( a2, b2 und vier rechtwinklige, kongruente Dreiecke oder c2 und vier rechtwinklige, kongruente Dreiecke) darstellen. Dazu arbeiten die Schülerinnen und Schüler alleine explorierend und die Lehrperson kontrolliert das Gelegte fortlaufend. Danach werden die Darstellungen des Ergänzungsbeweises mit den Buchstaben richtig beschriftet und die Lehrperson gibt der Klasse den Auftrag, die jeweiligen Flächen ihrer Darstellung zu berechnen. (Als Grundlage dazu dient die Bezeichnung mit Buchstaben). Danach gongt es in die Pause. Nach der Pause wird an der Beweisführung weiter gearbeitet. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B17-P-2202-Lek3)
  

  Zu Beginn dieser Stunde werden die Hausaufgaben korrigiert. Dazu werden sie in der Bank ausgetauscht und die Ergebnisse werden korrigiert, währendem die Lehrperson diese vorliest. Ei...    more

  Zu Beginn dieser Stunde werden die Hausaufgaben korrigiert. Dazu werden sie in der Bank ausgetauscht und die Ergebnisse werden korrigiert, währendem die Lehrperson diese vorliest. Eine Aufgabe der Hausaufgaben wird gemeinsam gelöst. Darauf nehmen die Schülerinnen und Schüler ihr Theorieheft hervor. Die Lehrperson schreibt die Formel des Pythagoras (a2 + b2 = c2) und deren Umformung (a2 = c2 - b2) an die Wandtafel und erklärt den Schülerinnen und Schülern das Wurzelziehen noch einmal. Am Hellraumprojektor steht der Titel "Satz des Pythagoras" und dazu ist die grafische Darstellung des Satzes von Pythagoras dargestellt. Zudem verteilt die Lehrperson ein Merkblatt, zu einem vorhergehenden Thema, das die Schülerinnen und Schüler zuerst in ihr Heft einkleben. Darauf machen die Schülerinnen und Schüler einen Theoriehefteintrag. Währendem erklärt die Lehrperson einer Schülerin die krank war, den behandelten Stoff. Während der Stillarbeit nennt die Lehrperson neun Aufgaben, die nach Beendigung des Eintrags gemacht werden können. Die Aufgaben sind mehrschrittig und anspruchsvoll. Es handelt sich dabei um die Berechnung von Diagonalen bei Rechtecken und Quadraten, um die Berechnung von Rechtecks- und Quadratseiten, um die Berechnung der Höhe von gleichseitigen Dreiecken und mehrschrittigen Aufgaben mit einem Bezug zur Praxis. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten diese Aufgaben in Einzelarbeit. Während der Stillarbeitsphase notiert die Lehrperson eine weitere Aufgabe an die Wandtafel. Der Auftrag dabei ist, pythagoräische Zahlentripel zu finden. Eine Hilfestellung wird mit vier Teilaufgaben geboten. Auch diese Aufgaben sind mehrschrittig und anspruchsvoll. Darauf unterbricht die Lehrperson die Stillarbeit und erklärt das Vorgehen bei einer Aufgabe, weil bei deren Bearbeitung Probleme auftraten. Danach gibt die Lehrperson die neue Aufgabe an der Wandtafel in Auftrag. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten weiter in Einzelarbeit. Am Ende der Stunde wird über die Hausaufgaben gesprochen. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B18-P-2203-Lek1)
  

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt und verteilt zwei Blätter, die ins Theorieheft eingeklebt und dann während der nächsten Lektion bearbeitet werden. Vor je...    more

  Zu Beginn der Lektion gibt die Lehrperson das neue Thema bekannt und verteilt zwei Blätter, die ins Theorieheft eingeklebt und dann während der nächsten Lektion bearbeitet werden. Vor jedem Arbeitsschritt oder Arbeitsteilschritt erklärt oder demonstriert die Lehrperson am Hellraumprojektor, was mit den Instruktionen auf dem Arbeitsblatt gemeint ist. Als erstes konstruieren die Schülerinnen und Schüler über einer gegebenen Hypotenuse ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck auf ein Stück Photokarton und ergänzen es zur Pythagorasfigur. Diejenigen Schülerinnen und Schüler, die mit dieser Konstruktion fertig sind, konstruieren dieselbe Figur in ihr Theorieheft. Hier unterbricht die Lehrperson die Schülerinnen und Schüler, um eine einheitliche Beschriftung von Dreiecken und Quadraten vorzugeben. Nach dem Übernehmen der Pythagorasfigur ins Theorieheft schneiden die Schülerinnen und Schüler die Quadrate auf dem Photokarton genau aus und legen sie auf dem Lehrerpult sortiert auf Haufen: die größten Quadrate zu den größten, die Kleinen zu den kleinen und einen Haufen mit den mittleren Quadraten. Anschließend messen sie die Seiten ihrer drei Quadrate und berechnen die Flächen. Während diesen Berechnungen fällt den ersten Schülerinnen auf, dass die beiden kleineren Quadrate zusammen etwa dieselbe Fläche haben, wie das große. Bis zum Ende der Lektion sollen alle Schüler die Flächen ihrer Quadrate berechnet haben. (Projekt)    less

• Satzgruppe des Pythagoras (B18-P-2203-Lek2)
  

  Nachdem die Lehrperson das Thema und den Ablauf der nächsten zwei Lektionen bekannt gegeben hat, zeigt sie, was bei den Hausaufgaben hätte herauskommen müssen: a2 + b2= c2. Die Schüler...    more

  Nachdem die Lehrperson das Thema und den Ablauf der nächsten zwei Lektionen bekannt gegeben hat, zeigt sie, was bei den Hausaufgaben hätte herauskommen müssen: a2 + b2= c2. Die Schülerinnen und Schüler überprüfen, ob das auch für ihre Quadrate zutrifft. Bei allen sind die Flächen der beiden kleineren Quadrate zusammen etwa so groß, wie die Fläche des großen. Die Lehrperson hat die ausgeschnittenen Quadrate wieder mitgebracht und zeigt den Schülern einen ersten improvisierten Beweis, das diese Beobachtung stimmt. Sie wägt alle drei Haufen mit einer Briefwaage und tatsächlich sind die beiden Haufen mit den kleineren Quadraten fast gleich schwer, wie der Haufen mit den grossen Quadraten. Anschließend trägt die Lehrperson an der Moltonwand den Zerlegungsbeweis vor. Die Lehrperson stellt die Frage, wozu denn nun die Erkenntnis, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate über den beiden kürzeren Seiten die gleiche Fläche haben, wie das Quadrat über der längsten Seite, gebraucht werden könne und leitet so zum Übungsteil der Unterrichtsreihe über. Eine erste einschrittige Übungsaufgabe wird in der Klasse berechnet. Danach gibt die Lehrperson eine Vorgehensweise vor, wie solche Aufgaben zu lösen sind. Eine weitere einschrittige Übungsaufgabe lösen die Schülerinnen und Schüler selbständig, anschließend wird der Lösungsweg in der Klasse besprochen. Nun teilt die Lehrperson ein Arbeitsblatt aus, auf dem die Schülerinnen und Schüler gesuchte Seiten in verschiedenen geometrischen Figuren berechnen müssen. Bis zur Pause arbeiten die Schüler und Schülerinnen an diesen Aufgaben. (Projekt)     less